triangolo, coordinate trilineari in un
triangolo, coordinate trilineari in un
triangolo, coordinate trilineari in un terna di numeri che individua un punto interno a un triangolo, descrivendo le sue distanze dai tre lati del triangolo stesso. Formalmente, dato un triangolo di vertici A, B e C e un punto P a esso interno, terna di numeri ciascuno dei quali è proporzionale alla rispettiva distanza di P da ciascuno dei lati. L’incentro ha coordinate (1, 1, 1) essendo le sue coordinate proporzionali alle sue distanze reali dai lati, che sono tutte uguali a r, raggio della circonferenza inscritta. Per le coordinate trilineari si usa spesso la notazione che separa con due punti una coordinata dall’altra; con questa notazione l’incentro ha coordinate 1 : 1 : 1, mentre un punto generico ha coordinate x : y : z. Si riserva invece la notazione usuale per indicare le distanze reali del punto considerato dai lati; queste risultano essere (kx, ky, kz) ottenibili da x : y : z attraverso la relazione:
dove a, b e c indicano le rispettive lunghezze dei lati BC, CA e AB del triangolo. I vertici del triangolo hanno rispettive coordinate trilineari 1 : 0 : 0, 0 : 1 : 0 e 0 : 0 : 1 (coincidenti con le → coordinate baricentriche); il circocentro ha coordinate trilineari
Un punto con coordinate trilineari x : y : z ha coordinate baricentriche (ax, by, cz) dove a, b, c sono le lunghezze dei lati del triangolo. Similmente, un punto con coordinate baricentriche (α, β, γ) ha coordinate trilineari α/a : β/b : γ/c.
Per passare da coordinate trilineari a coordinate cartesiane si esprime il punto B in coordinate cartesiane e lo si rappresenta come un vettore a di origine C; analogamente si rappresenta il punto A come vettore b di origine C; a partire da questa coppia di vettori, presi come base, si esprime ogni punto P del triangolo come vettore p = xa + yb. Se il punto P ha coordinate trilineari α : β : γ, le sue coordinate cartesiane (x, y) risulteranno:
Data la simmetria delle coordinate trilineari, una sola funzione φ (→ triangolo, funzione centro di un) è sufficiente a determinare tutte e tre le coordinate di un centro (incentro, circocentro, baricentro) di un triangolo, attraverso una permutazione ciclica delle variabili; queste variabili possono essere le ampiezze degli angoli di rispettivi vertici A, B, C oppure le lunghezze a, b, c dei lati oppure una composizione delle une con le altre (in base al teorema del coseno). Molte curve possono essere rappresentate utilizzando coordinate trilineari; le corrispondenti equazioni sono dette appunto equazioni trilineari.