corpo

corpo

corpo struttura algebrica così definita: anello unitario e integro in cui ogni elemento non nullo è invertibile rispetto alla moltiplicazione; privato dello zero, risulta cioè un gruppo rispetto alla moltiplicazione. La struttura algebrica di corpo è dunque una struttura intermedia fra quella di anello e quella di campo: in effetti, un campo non è altro che un corpo il cui gruppo moltiplicativo sia commutativo (il campo è perciò anche detto corpo commutativo). Ogni campo è dunque in particolare un esempio di corpo, come per esempio l’insieme Q dei numeri razionali, l’insieme R dei numeri reali e l’insieme C dei numeri complessi. Invece, l’insieme Z dei numeri interi non è un corpo ma solo un anello, perché in esso la moltiplicazione non si può, in genere, invertire. Un esempio di corpo che non sia un campo, cioè in cui la moltiplicazione non sia commutativa, è fornito dall’insieme H dei quaternioni. Se K è un corpo contenente solo un numero finito di elementi, allora esso è necessariamente un campo (teorema di Wedderburn). In alcuni autori la definizione comporta anche la commutatività della moltiplicazione e quindi il corpo come qui definito è detto corpo non commutativo.

Un corpo K si dice ordinato se in esso è definito un ordinamento totale ≤ compatibile con le operazioni di K e cioè tale che, definito il sottoinsieme K ⁺ = {x ∈ K, x > 0} degli elementi positivi, si ha:

a) x, y ∈ K ⁺ ⇒ x + y ∈ K ⁺ e x · y ∈ K ⁺

b) x ≠ 0 ⇒ x ∈ K ⁺ aut –x ∈ K ⁺

c) 0 ∉ K ⁺

d) x ≤ y ⇔ (x = y vel y – x ∈ K ⁺)

Gli elementi non nulli di K che non appartengono a K ⁺ si dicono negativi. Mentre Q e R, con il loro ordinamento naturale, sono campi ordinati, il campo C dei numeri complessi non è ordinato. Se infatti si introducesse un ordinamento totale allora l’unità immaginaria i non potrebbe essere né positiva (perché con i ∈ C⁺ si avrebbe i ² = −1 ∉ C⁺ contravvenendo all’assioma a) né negativa (giacché anche nell’ipotesi –i > 0, si avrebbe (−i)² = i ² = −1, contravvenendo ancora all’assioma a).