corpo

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Consideriamo in un anello con unità A l’equazione ax=b, dove a,b sono elementi fissati e x un elemento ‘incognito’ di A. Un primo semplice caso è quello in cui a=0; poiché 0x=0 per ogni x in A, è chiaro che due soli casi saranno possibili: o b=0 e allora ogni x in A verifica l’equazione, oppure b ≠0 e allora l’equazione stessa non ha soluzione. Un secondo semplice caso è quando a ammette un inverso relativamente alla moltiplicazione, ovvero esiste un elemento (che si dimostra poi essere unico) di A, indicato con il simbolo a⁻¹, soddisfacente la relazione a⁻¹a=aa⁻¹=1. Allora l’equazione ax=b possiede per ogni b la sola soluzione x=a⁻¹b. L’elemento a è allora detto invertibile. Tuttavia, in generale l’equazione ax=b può avere più soluzioni: indicando due di esse con le lettere x e y, avremo evidentemente a(x−y)=0. Queste osservazioni conducono all’introduzione della seguente nozione: un anello A è detto dominio d’integrità se per ogni u,v in A la relazione uv=0 implica u=0 o v=0 (talvolta è richiesto che A sia commutativo). L’anello ℤ dei numeri interi relativi è evidentemente un dominio di integrità. Chiaramente in questo caso l’equazione ax=b possiede al più una soluzione, ma naturalmente può non averne affatto (basti considerare l’equazione 2x=3 in ℤ) e nulla può essere detto in generale in un dominio di integrità circa eventuali condizioni per la sua esistenza. Esistono anelli che non sono domini di integrità. Consideriamo, per es., l’anello di tutte le funzioni dalla retta reale ℝ in se stessa (considerata ora come anello): il prodotto delle funzioni non nulle f(x)={1 se x≥0, 0 se x≤0} e g(x)={0 se x≥0, 1 se x≤0} è evidentemente la funzione identicamente uguale a zero. Se tutti gli elementi non nulli (ossia non coincidenti con lo 0) di un anello A sono ;invertibili, ovvero se gli elementi non nulli di un anello A formano un gruppo rispetto all’operazione di moltiplicazione, esso è detto corpo. Un corpo nel quale l’operazione di moltiplicazione sia commutativa è detto campo. Gli insiemi ℚ, ℝ e ℂ dei numeri rispettivamente razionali, reali e complessi sono campi. L’insieme ℤ dei numeri relativi non è un campo (o corpo), in quanto l’inverso di un intero diverso da 1 non è evidentemente intero. Se A è un anello commutativo (e dunque in particolare se A è uguale a ℚ, ℝ o ℂ), l’insieme A[x₁,...,x_ν] dei polinomi a n variabili con coefficienti in A è un anello commutativo (e un dominio d’integrità) ma non un corpo. La costruzione dei numeri razionali a partire dagli interi relativi suggerisce che definendo opportunamente la nozione di frazione sia possibile estendere un dominio di integrità commutativo a un campo. Non è difficile dimostrare che questo è il caso e la costruzione necessaria gioca un ruolo essenziale nell’algebra. Nel caso in cui un dominio di integrità sia finito (ovvero costituito da un numero finito di elementi), non è inoltre difficile dimostrare che esso è in realtà un corpo. Molto più complessa è la prova del seguente teorema: ogni corpo finito è commutativo, ovvero è un campo. In questo caso, quindi, la moltiplicazione non può che essere commutativa. D’altro canto, è possibile dimostrare che il numero di elementi di un corpo finito è necessariamente una potenza di un numero primo e che per ogni numero primo p e ogni intero n esiste essenzialmente (a meno di isomorfismi) un solo corpo con p^ν elementi. In altre parole, è noto come costruire esplicitamente tutti i corpi finiti; il loro studio fu avviato dal matematico francese Évariste Galois.

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