CORRISPONDENZA

CORRISPONDENZA

In matematica è un concetto di fondamentale importanza. Date due classi, o insiemi, di oggetti (a) e (b), si dice che fra di esse intercede una corrispondenza quando ad ogni elemento a dell'una viene associato un elemento, ovvero più elementi b dell'altra. Il concetto di corrispondenza appare così un concetto generalissimo, d'ordine puramente logico. Tuttavia esso ha dovuto essere, per così dire, scoperto dai matematici moderni, attraverso la critica del significato della funzione (v.) e della curva (v.) arbitraria. Per l'ufficio fondamentale che tale concetto ha nella teoria degl'insiemi e nella definizione dei numeri v. insieme e numero.

Col rinnovamento della geometria che accompagna il sorgere della geometria proiettiva e algebrica agl'inizî del secolo scorso, le corrispondenze fra enti geometrici attraggono sempre più l'interesse dei geometri. A. F. Möbius considera in generale la corrispondenza o trasformazione fra piani e stabilisce quindi la nozione dell'omografia (trasformazione lineare) che fa corrispondere biunivocamente ad ogni punto un punto, e ai punti d'una retta i punti d'una retta. K.G.C. Staudt (completato dai critici posteriori del teorema fondamentale della geometria proiettiva) dimostra appunto che codesta proprietà caratterizza l'omografia anche senza che si aggiunga il presupposto della continuità (v. geometria).

I fondatori della geometria algebrica sono stati condotti a considerare particolarmente le corrispondenze [m, n] fra rette, cioè quelle in cui ad ogni punto della prima retta corrisponde un numero finito n di punti dell'altra, mentre, reciprocamente, ad un punto della seconda corrisponde un numero finito m di punti della prima. In specie, per m = n = 1, si hanno le corrispondenze [1,1] o biunivoche. Un'equazione algebrica f (x, y) = 0, di grado m rispetto ad x, e di grado n rispetto ad y, pone fra due rette, su cui x e y s'interpretino come coordinate, una corrispondenza algebrica [m, n]. Sarà viceversa legittimo ritenere che ogni corrispondenza [m, n] fra rette sia algebrica e, in particolare, che ogni corrispondenza biunivoca sia una proiettività (o trasformazione lineare)? La questione si lega strettamente all'altra: se nel piano una curva algebrica sia definita dalla proprietà d'essere incontrata in un numero finito n di punti da una retta arbitraria. J. V. Poncelet, M. Chasles e L. Cremona, che s'imbatterono appunto in tali problemi, non ebbero una veduta esatta delle condizioni in cui la proprietà algebrica viene verificata; i cosiddetti porismi di Chasles - che questo geometra credette poter riattaccare ai porismi greci - furono generalmente accolti e interpretati dai geometri come l'affermazione incondizionata delle proprietà sopra accennate. Ma, nel 1870, la critica di Geiser ha messo in luce che esse non valgono veramente, né nel campo reale, né nel campo complesso (cioè per rette concepite come luoghi di punti reali e immaginarî). Per il campo reale non c'è nulla da aggiungere: basta notare, per es., esservi ovali che non sono coniche, e che dànno luogo a corrispondenze biunivoche non proiettive fra due tangenti fisse segate da una tangente variabile: la definizione della proiettività fra due rette deve essere completata (con lo Staudt), assumendo che ad ogni gruppo armonico di punti risponda sempre un gruppo armonico. Invece, nel campo complesso, cui si riferiscono di fatto le considerazioni dei cultori della geometria algebrica, gli accennati porismi si giustificano, ove si assuma che la corrispondenza posta fra le rette (luogo di punti complessi) sia analitica (v. Funzione): ogni corrispondenza [m, n] analitica risulta necessariamente algebrica.

Per una corrispondenza algebrica sopra la retta vi è, in generale, un numero finito di punti (uniti) che coincidono con uno dei corrispondenti. Il principio di corrispondenza dice che "il numero dei punti uniti è m + n". Questo principio, che è fondamentale per quell'ordine di ricerche che costituisce la geometria numerativa, porta, di solito, il nome di Chasles; ma C. Segre ha rilevato che risale alle ricerche anteriori di E. de Jonquières e del Cremona

La considerazione delle corrispondenze algebriche fra rette, e il relativo principio di corrispondenza, sono stati estesi, con le dovute modificazioni, alle curve algebriche (d'ordine e di genere qualunque): hanno fatto ricerche in proposito A. Cayley, A. Brill, A. Hurwitz, F. Severi, F. Enriques e O. Chisini.

Bibl.: Cfr. Enriques-Chisini, Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, voll. 3, Bologna [1915-24]; F. Severi, Trattato di geometria algebrica, I, i, Bologna 1927.