serie, criteri di convergenza per una
serie, criteri di convergenza per una
serie, criteri di convergenza per una condizioni necessarie e/o sufficienti per stabilire la convergenza di una serie. Il criterio di Cauchy (→ Cauchy, criteri di convergenza di) stabilisce che condizione necessaria e sufficiente affinché la serie numerica
formula
con an ∈ R converga, è che ∀ε > 0 ∃N = N(ε) tale che ∀n > N e ∀p ≥ 0 risulti
Da tale criterio si deduce che condizione necessaria per la convergenza della serie
formula
è che
formula
Più importanti per le applicazioni pratiche sono le numerose condizioni sufficienti per la convergenza di serie. Le condizioni sufficienti (cui usualmente ci si riferisce con il termine criteri) si suddividono in:
• criteri per serie a termini positivi (o non negativi);
• criteri per serie con termini di segno alterno;
• criteri per serie con termini di segno qualsiasi (o nel campo complesso, per esempio il criterio di → Abel);
• criteri per serie di struttura particolare (per esempio, serie di potenze o di Fourier).
Per quest’ultimo caso si rimanda ai rispettivi lemmi (→ serie di potenze; → Fourier, serie di). Per le serie a termini di segno alterno il criterio principe (e sostanzialmente unico) è il criterio di → Leibniz. Per serie generiche, l’unica possibilità generale è quella di verificare l’assoluta convergenza, e quindi di ricondursi a serie a termini positivi.
I principali criteri di convergenza storicamente introdotti sono riportati nelle tavole dei criteri di convergenza. Essi sono tutti assorbiti dai criteri di equivalenza asintotica; solo i criteri del rapporto e della radice hanno ancora applicazione pratica per la loro semplicità. Per le serie a termini di segno alterno, si applica in genere il criterio di → Leibniz. Per serie con termini di segno qualunque, salvo casi particolari, si deve ricorrere alla verifica della convergenza assoluta (→ convergenza). I criteri di convergenza per le serie di funzioni non differiscono da quelli per le serie numeriche; criteri particolari (→ Weierstrass, criterio di convergenza di) si introducono solo per la → convergenza uniforme.
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