Weierstrass, criterio di
Weierstrass, criterio di
Weierstrass, criterio di (per una serie di funzioni) in analisi, condizione sufficiente per la uniforme convergenza di una serie di funzioni. Data la serie
si supponga che in un insieme T risulti |ƒn(x)| ≤ cn, e che la serie numerica
sia convergente; allora la serie di funzioni converge (totalmente e quindi) uniformemente in T. Il teorema si generalizza a funzioni di più variabili e anche a funzioni in spazi di → Banach, qualora si sostituiscano i moduli con le norme.
Questo tipo di convergenza è detto totale ed è condizione più forte della sola convergenza uniforme: per esempio, ponendo ƒn(x) = 1/(x + 1) in [n, n + 1) e 0 altrove, la serie che si ottiene converge uniformemente a 1/(x + 1) in [0, +∞), ma le più piccole costanti che maggiorano le ƒn(x) sono i loro massimi cn = 1/(n + 1) e la serie di tali massimi è la → serie armonica che diverge.