curvatura

curvatura

curvatura [Lat. curvatura, da curva] [RGR] C. dello spazio-tempo: v. relatività generale: IV 789 c. ◆ [ASF] C. dell'Universo: v. Universo: VI 418 e. ◆ [OTT] C. di campo: una delle aberrazioni geometriche di un sistema ottico: v. sistemi ottici: V 311 f. ◆ [ALG] C. di una curva piana: elemento definito punto per punto della curva, che misura la rapidità con la quale la curva si discosta dalla tangente, la rapidità cioè con la quale essa si discosta dall'andamento rettilineo. Precis., dati una curva piana C e un arco PP₁ di essa, si traccino le tangenti t, t₁ a C nei punti P e P₁ (v. fig.); l'angolo φ formato da t e t₁ risulta tanto più grande quanto più l'arco PP₁ si discosta da un segmento rettilineo (almeno se P₁ è prossimo a P). Si chiamano: (a) c. media dell'arco PP₁, il rapporto tra l'angolo φ e la lunghezza dell'arco stesso; (b) c. nel punto P della linea C, il limite c di detto rapporto al tendere di P₁ a P. Per es., per un cerchio di raggio r la c. è la stessa in tutti i punti, ed è uguale a 1/r. Segue da ciò che, essendo c la c. di una linea C in un punto P, esiste un cerchio ben determinato (di raggio r=1/c) tangente alla curva in P e avente in P la stessa curvatura della C, ed è questo il cerchio osculatore alla C in P; il suo raggio r=1/c (cioè l'inverso della c.) si chiama il raggio di c. della C in P e il suo centro N si chiama il centro di c. della C in P (esso è la posizione limite del punto N₁ in cui si incontrano le normali n e n₁ alla C, rispettiv. in P e P₁). La c. ha l'espressione c=|y''/(1+y'2)3/2|, se y=y(x) è l'equazione cartesiana ortogonale della C, e y', y'' le derivate prima e seconda della funzione y(x) calcolate nel punto P (v. curve e superfici: II 77 e). ◆ [ALG] C. di una curva sghemba: la prima c., o flessione, che misura ancora la rapidità dello scostamento dall'andamento rettilineo della curva C in un suo punto P, si definisce in modo identico a quanto si è fatto per una curva piana come limite al quale tende il rapporto tra l'angolo formato dalle tangenti a C in due punti P e P₁ e la lunghezza dell'arco PP₁, quando P₁ tende a P. La prima c. di una linea sghemba C si può esprimere nella forma: c=[(d2x/ds2)2+(d2y/ds2)2+(d2z/ds2)]1/2, cioè mediante le derivate seconde delle funzioni x(s), y(s), z(s) che forniscono una rappresentazione parametrica della linea C in funzione dell'ascissa curvilinea s. La seconda c., o torsione, misura invece la rapidità con la quale la C si discosta dall'andamento piano (quanto più grande è la torsione, tanto più rapidamente la curva si scosta, allontanandosi da P, dal suo piano osculatore in P). Essa si definisce in modo analogo alla prima c., cioè come limite a cui tende il rapporto tra l'angolo formato dai piani osculatori alla C nel punto P e in un punto P₁ prossimo a P (o anche l'angolo formato dalle binormali in P e P₁) e la lunghezza del-l'arco PP₁, al tendere di P₁ a P. La torsione s'indica generalm. con τ e la sua espressione è: ✄ ove c è la prima curvatura. Se una curva ha la prima c. nulla in tutti i suoi punti, essa è necessariamente una retta; se invece è nulla in tutti i punti la seconda c., si tratta necessariamente di una curva piana (il viceversa, in entrambi i casi, è ovvio). ◆ [ALG] C. di una superficie: la considerazione della rapidità e del modo in cui una superficie si discosta dal piano tangente a essa in un suo punto P dà luogo a considerazioni più complesse di quelle per una curva: v. curve e superfici: II 80 b. ◆ [OTT] C. di un raggio ottico: v. propaga-zione ottica: IV 612 a. ◆ [ALG] C. estrinseca di un'ipersuperficie: v. varietà riemanniane: VI 509 c. ◆ [ALG] C. gaussiana: lo stesso che c. totale. ◆ [ALG] C. media: v. sopra: C. di una curva piana. ◆ [ALG] C. normale della curva: v. curve e superfici: II 80 b. ◆ [ALG] C. principali: v. curve e superfici: II 80 c. ◆ [ALG] C. riemanniana: v. tensore: VI 126 d. ◆ [ALG] C. totale: v. tensore: VI 126 e. ◆ [ALG] Centro di c.: v. sopra: C. di una curva piana. ◆ [ALG] Funzioni di c. della curva e vettori di c.: v. curve e superfici: II 77 e. ◆ [ALG] Invariante di c.: v. tensore: VI 126 d. ◆ [ALG] Matrice e operatore di c.: v. classi caratteristiche: I 629 d, c. ◆ [OTT] Parametro di c. complesso: v. diffrazione della luce: II 146 e. ◆ [ALG] Prima e seconda c.: v. sopra: C. di una curva sghemba. ◆ [ASF] Radiazione di c.: particolare aspetto della radiazione di sincrotrone: v. astronomia gamma: I 227 d. ◆ [ALG] Raggio di c.: v. sopra: C. di una curva piana. ◆ [RGR] Scalare di c.: contrazione del tensore di Ricci, una delle quantità che intervengono a formare il tensore di Einstein. ◆ [ASF] [RGR] Singolarità di c.: v. buco nero: I 382 e. ◆ [ALG] Spazio di c. costante: v. varietà riemanniane: VI 504 a. ◆ [ALG] Tensore di c.: v. tensore: VI 126 b. ◆ [ALG] Vettore di c. geodetica: v. curve e superfici: II 81 f.