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curvatura

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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curvatura

Luca Tomassini

Termine generale che indica una serie di caratteristiche quantitative (in termini di numeri, vettori, tensori) descriventi il grado al quale un determinato oggetto geometrico (una curva, una superficie, uno spazio riemanniano ecc.) si allontana da altri oggetti scelti come riferimenti e considerati come piatti (una linea retta, un piano, uno spazio euclideo). In tutte le sue forme specifiche il concetto di curvatura è definito localmente, per ogni punto fissato dell’oggetto in considerazione e facendo uso esclusivamente di proprietà di insiemi di punti a esso arbitrariamente vicini (intorni). Tali punti devono di norma soddisfare determinate ipotesi di regolarità, che esprimono il fatto che l’oggetto nelle loro vicinanze deve essere sufficientemente ‘liscio’. In generale, se la curvatura si annulla in tutti i punti l’oggetto in questione è identico (localmente, non globalmente) al corrispondente oggetto piatto. Si consideri per es. una curva regolare γ nello spazio euclideo n-dimensionale e siano α(p,p1) e s(p,p1) l’angolo tra le rette tangenti a γ nei punti p e p1 di γ e la lunghezza dell’arco di curva compreso tra p e p1, rispettivamente. Allora il limite

formula

è detto curvatura della curva γ in p. Siano ora Φ una superficie (regolare) nello spazio euclideo tridimensionale, p un punto su di essa, Tπ il piano tangente a Φ in p, n il vettore di lunghezza unitaria ortogonale a Φ in p e infine π il piano su cui giacciono n e un qualunque vettore l su Tπ. L’intersezione di π e Φ definisce una curva γλ e varie nozioni della curvatura di Φ sono definite a partire da quella di γλ per particolari vettori l. Tra queste ricordiamo la curvatura gaussiana o totale, introdotta dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. A lui si deve il Theorema egregium, nel quale è stabilito che la curvatura di una superficie è determinata dalla sua metrica, ovvero dalla lunghezza delle curve su di essa, e non dalle proprietà dello spazio nel quale la superficie stessa è immersa. Si tratta dunque di una proprietà intrinseca, un’osservazione che opportunamente generalizzata sarà posta da Bernhard Riemann a fondamento della sua nuova geometria.

→ Geometria non commutativa

Vedi anche
inflazione cosmica Fase primordiale di espansione accelerata dell’Universo ipotizzata per spiegarne l’alto grado di omogeneità. La teoria dell’i., formulata nel 1981 dal fisico statunitense A.H. Guth (n. 1947), si propone di risolvere alcune difficoltà rilevate nel cosiddetto modello cosmologico standard, la teoria comunemente ... torsione Sollecitazione di un corpo filiforme, o comunque piuttosto allungato, tendente a far ruotare ogni sezione trasversale di esso rispetto alle altre. Movimento di rotazione di un corpo o parte di esso intorno al suo asse longitudinale. botanica La t. di organi in sviluppo (cauli, peduncoli fiorali, viticci, ... geodesia In origine, arte di dividere i terreni (moderna agrimensura), oggi scienza che studia forma e dimensioni della Terra e si occupa di determinare il campo gravitazionale terrestre. La g. si suddivide a seconda dei metodi seguiti: la g. geometrica studia la forma della Terra mediante misure di latitudini ... apside (o abside) Ciascuno degli estremi dell’asse maggiore dell’ellisse orbitale (detto anche linea degli a.) di un pianeta intorno al Sole, o di un satellite intorno a un pianeta, o della stella secondaria intorno alla principale in un sistema binario.
Categorie
  • GEOMETRIA in Matematica
Tag
  • CARL FRIEDRICH GAUSS
  • THEOREMA EGREGIUM
  • BERNHARD RIEMANN
  • SPAZIO EUCLIDEO
  • RETTE TANGENTI
Altri risultati per curvatura
  • Casorati, curvatura di
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    Casorati, curvatura di → superficie.
  • curvatura
    Enciclopedia on line
    Lo stato generico di un ente geometrico o fisico di scostarsi da un andamento rettilineo o piano. C. di una curva piana Elemento definito punto per punto della curva, che misura la rapidità con la quale la curva si discosta dalla tangente, la rapidità cioè con la quale essa si discosta dall’andamento ...
  • curvatura
    Dizionario delle Scienze Fisiche (1996)
    curvatura [Lat. curvatura, da curva] [RGR] C. dello spazio-tempo: v. relatività generale: IV 789 c. ◆ [ASF] C. dell'Universo: v. Universo: VI 418 e. ◆ [OTT] C. di campo: una delle aberrazioni geometriche di un sistema ottico: v. sistemi ottici: V 311 f. ◆ [ALG] C. di una curva piana: elemento definito ...
  • CURVATURA
    Enciclopedia Italiana (1931)
    Un arco (o tratto) PP1 di una curva piana C, che sia convesso tutto da uno stesso lato, può essere più o meno curvo: costruite le tangenti t, t1 a C nei punti P, P1 (fig. 1), se si incurva di più o di meno l'arco PP1 mantenendone inalterata la lunghezza, l'angolo ϕ formato da t con t1 riesce tanto più ...
Vocabolario
curvatura
curvatura s. f. [dal lat. curvatura]. – 1. L’operazione del curvare: la c. delle doghe per le botti; dare una leggera c. a una sbarra; in arboricoltura, ripiegamento dei rami di piante da frutto, spec. della vite, sinon. di archeggiamento....
bombatura
bombatura s. f. [der. di bombare2]. – Rigonfiamento, curvatura impressa a una superficie.
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