QUILLEN, Daniel

QUILLEN, Daniel

Matematico statunitense, nato a Orange (New Jersey) il 27 giugno 1940. Conseguito il Ph.D. in matematica alla Harvard University (1969), è stato professore di Matematica al Massachusetts Institute of Technology (1973-88) e dal 1988 insegna all'università di Oxford. Per i suoi notevoli contributi all'algebra omologica, gli sono stati assegnati nel 1974 il Cole Prize e nel 1978, al Congresso internazionale di Helsinki, la Fields Medal. La sua opera riguarda numerosi rami della matematica, dalla teoria dei gruppi finiti agli spazi fibrati, alla teoria del cobordismo di R. Thom e alla K-teoria algebrica. In ciascuno di questi campi Q. ha fornito la soluzione di problemi spesso aperti da vari anni, mostrando straordinarie doti d'inventiva e di virtuosismo tecnico soprattutto nel tradurre difficili questioni di geometria e di topologia in problemi di algebra, risolvibili con semplici manipolazioni algebriche. Originale è il suo metodo d'indagine nell'algebra omologica e nella teoria delle categorie e dei funtori. Ha mostrato anche che i metodi dei gruppi formali possono essere utilmente applicati alla teoria del cobordismo.

Particolarmente proficuo è stato l'accostamento della teoria dei gruppi a questioni algebriche e topologiche che nascono dallo studio delle varietà. Uno dei risultati più importanti di Q. è stato di consentire la dimostrazione di una congettura di J.F. Adams nella teoria dell'omotopia, trasformando la questione in un problema di geometria algebrica (1968), risolto con un metodo basato sulla teoria della rappresentazione modulare dei gruppi finiti (1970). L'idea di associare gruppi a oggetti risale alla definizione di A. Grothendieck di un funtore contravariante che associa un gruppo abeliano a una varietà algebrica, definizione poi estesa da F. Hirzebruch e M.F. Atiyah agli spazi topologici compatti, in modo tale da far corrispondere a uno spazio topologico X e a un intero n un certo gruppo abeliano Kⁿ(X). Formalizzata così la K-teoria topologica, H. Bass provò (1963) che alcuni oggetti, simili a K⁰ e a K¹, si potevano costruire per un anello arbitrario, gettando in questo modo le basi della K-teoria algebrica. Pertanto, dopo aver dato le successioni di gruppi abeliani per spazi topologici, nasceva la difficile questione di definire successioni analoghe (non banali) da associare a un anello. Nel 1972, utilizzando tecniche riprese dalla teoria dell'omotopia e il metodo usato nella dimostrazione della congettura di Adam, Q. ha fornito un contributo fondamentale con la naturale e semplice definizione di gruppi (non banali) Kⁿ, per ogni n, mostrando successivamente come la loro struttura potesse essere effettivamente calcolata. La dimostrazione di Q. che i K-gruppi di anelli di numeri sono generati finitamente ha consentito altresì l'estensione di queste tecniche alla teoria algebrica dei numeri oltre che a varie questioni di geometria e topologia differenziale. Si deve infine a Q. la dimostrazione (1976) di un'importante congettura di J.-P. Serre (1955) riguardante i moduli proiettivi sugli anelli di polinomi.

Fra le opere principali: Homotopical algebra (1967); Higher algebraic K-theory i, in Lecture notes in math. (1972); Projective modules over polynomial rings, in Inventiones Mathematicae (1976).