Hilbert, David

Hilbert, David

Hilbert ⟨hìlbërt⟩ David [STF] (Königsberg 1862 - Gottinga 1943) Prof. di matematica nell'univ. di Gottinga (1895); socio straniero dei Lincei (1903). ◆  Azione di H.-Einstein: v. gravità quantistica: III 79 e. ◆  Cubo di H.: particolare sottoinsieme in uno spazio di H. a infinite dimensioni, costituito dalle successioni tali che 0≤xi≤2^-i, con i=1,2,...; è il prototipo di insieme compatto in uno spazio infinitodimensionale. ◆ Disuguaglianza di H.: è Σm,n=m,n=0 ambn/(m+n)

1, (1/p)+(1/q)=1, am,bn>0. ◆ Equazione, o funzione, di H.-Schmidt: v. equazioni integrali: II 479 c. q Lagrangiana di H., o di H.-Einstein: v. unificazione dei campi classici: VI 400 a. ◆ Mattone di H.: lo stesso che cubo di H. (v. sopra). ◆ Metodo di H.: serve per l’equazione di Boltzmann. Si suppone che la funzione di distribuzione f(x,v)incognita dell’equazione di Boltzmann ammetta uno sviluppo in serie in un parametro e, che viene posto a coefficiente del termine di collisione nella forma l/e e, alla fine dei calcoli, viene posto uguale a 1; s’impone che l’equazione sia soddisfatta ordine per ordine. Si ottengono infinite equazioni, la prima delle quali esprime che la f all’ordine 0 deve essere una maxwelliana n0(r)exp [-b0(r)m(v-u0(r)2/2)] [mb0(r)/(2p)]3/2, ove n0(r), u0(r), b0(r) sono tre funzioni che s’interpretano come la densità in r, la velocità media in r e la temperatura assoluta T0(r)=b0(r)-1/kB in r (con kB costante di Boltzmann); m denota la massa delle molecole del gas. L’equazione del primo ordine impone (per poter essere risolubile) che le grandezze n0(r), u0(r), b0(r), dette grandezze idrodinamiche, verifichino le equazioni di Eulero compressibili linearizzate della gasdinamica. La sua soluzione può essere espressa in termini di cinque funzioni arbitrarie n1(r), u1(r), b1(r), che hanno il significato fisico di termini del primo ordine in uno sviluppo in serie di e delle grandezze dell’idrodinamica n(r)=n0(r)+en1(r) +..., u(r)=u0(r)+eu1(r) +..., b(r)=b0(r)+eb1(r)+...; a loro volta, queste funzioni devono verificare un’equazione lineare affinché l’equazione del secondo ordine sia risolubile. Il metodo di H. fa dunque vedere in quale modo si possa tentare una connessione fra le equazioni macroscopiche della meccanica dei fluidi e l’equazione di Boltzmann, tuttavia è poco chiaro in che senso esso approssimi le soluzioni dell’equazione di Boltzmann e, conseguentemente, è poco chiara la connessione fra l’e-quazione di Boltzmann e le equazioni della fluidodinamica macroscopica. Si ritiene che il metodo sia applicabile quando si considerano particolari condizioni iniziali e in situazioni in cui il rapporto fra il tempo tlcm di percorrenza di una distanza pari al cammino libero medio di una molecola con velocità media v sia molto piccolo rispetto al tempo necessario all’evoluzione idrodinamica t, e il rapporto (tlcm/t)k viene identificato con l’ordine di grandezza del termine fk dello sviluppo di H., e, al tempo stesso, il tempo t ha lo stesso ordine di grandezza di L/v, dove L è una lunghezza macroscopica, per es. le dimensioni del contenitore. ◆ Metodo di H.-Haar: v. variazioni, calcolo delle: VI 466 f. ◆ Nucleo di H.: v. analisi armonica: I 128 b. ◆ Operatore di H.: v. hamiltoniani, sistemi infinito-dimensionali: III 146 f. ◆ Postulati di H.: postulati che, insieme a nozioni e concetti primitivi (“punto”, “retta”, “piano”, ecc., “appartenere a”, “essere vicino a”, “situato fra”, ecc., “angoli uguali”, “segmenti disuguali”, ecc,), costituiscono il sistema formale mediante il quale H., nel suo trattato Grundlagen der Geometrie (“Fondamenti della geometria”, 1899) riformulò la geometria euclidea mantenendone intatto l’impianto ipotetico-deduttivo ma eliminando da essa ogni ricorso all’“evidenza intuitiva” nelle dimostrazioni. ◆ Programma di H.: il sistema dei postulati di H. (v. sopra): v. Gödel, teorema di: III 53 d. ◆ Sottospazio di H.: data una base B di uno spazio di H., è lo spazio vettoriale generato da un sottoinsieme B'ÌB di elementi della base. ◆ Spazio di H.: estensione dello spazio euclideo, e precis. uno spazio di Banach nel quale la norma di un elemento è indotta dal prodotto interno: funzionale, analisi: II 771 a. ◆ Sviluppo di H.: v. gas, teoria cinetica dei: II 823 f. q Tensore di H., o di energia impulso: v. gravitazionale, dinamica del campo: III 83 f. ◆ Teorema della base di H.: v. varietà algebrica: VI 473 a. ◆ Teorema di H. degli zeri: v. varietà algebrica: VI 473 a.