matrice, decomposizione di una
matrice, decomposizione di una
matrice, decomposizione di una o fattorizzazione di una matrice, scrittura di una data matrice (che nel seguito sarà assunta a coefficienti reali o complessi) come prodotto di altre matrici. A seconda del particolare tipo di matrice considerato, si dimostra l’esistenza di varie decomposizioni standard, che risultano utili nell’affrontare svariati problemi di algebra lineare e di analisi numerica.
☐ Nella decomposizione LU, ogni matrice A quadrata e non singolare è decomposta nella forma A = PLU, dove P è una matrice permutativa, L è una matrice triangolare inferiore e U è una matrice triangolare superiore. Tale decomposizione non è unica; essa diventa invece unica se si richiede che gli elementi diagonali di L (o di U) siano tutti uguali a 1.
☐ Nella decomposizione QR, ogni matrice quadrata A viene decomposta nella forma A = QR, dove Q è una matrice unitaria e dove R è una matrice triangolare superiore; nel caso particolare che A sia una matrice reale e invertibile, allora la decomposizione è univocamente determinata dalla condizione che gli elementi diagonali di R siano positivi.
☐ Nella decomposizione ai valori singolari (indicata anche con la sigla SVD), indicando con M H la trasposta coniugata della matrice M, ogni matrice complessa A m × n di rango k viene decomposta nella forma A = VSW H, dove V e W sono matrici quadrate unitarie di ordine rispettivamente m e n e dove S è una matrice m × n con tutti gli elementi nulli tranne i primi k tra quelli con indici di riga e colonna uguali tra loro. Gli elementi non nulli di S sono detti i valori singolari di A e coincidono con le radici quadrate degli autovalori non nulli della matrice quadrata AAH. Mentre le colonne di V sono gli autovettori della matrice AAH, le colonne di W sono gli autovettori della matrice AHA. Nel caso particolare in cui A è reale, esiste una decomposizione ai valori singolari con fattori reali.
Un altro importante tipo di decomposizione di matrici va sotto il nome di decomposizione di → Cholesky.
Per eseguire le decomposizioni indicate esistono diversi algoritmi, che occupano un ruolo centrale nella risoluzione di numerosi problemi di analisi numerica.