Cantor, definizione di numero reale di
Cantor, definizione di numero reale di
Cantor, definizione di numero reale di definizione introdotta a partire da una relazione di equivalenza nell’insieme delle successioni di Cauchy di numeri razionali. Sia SC(Q) l’insieme delle successioni di Cauchy di numeri razionali e si introduca in esso la relazione di equivalenza, indicata con il simbolo ~ e così definita:
Allora l’insieme dei reali R è dato dall’insieme quoziente SC(Q)l~. Ogni numero reale α è cioè definito da una successione di Cauchy di razionali, o da qualsiasi altra a essa equivalente rispetto alla relazione di equivalenza introdotta. La classe di equivalenza che contiene la successione costante {a} si identifica con il numero a; tali classi costituiscono un sottoinsieme Q′ di R isomorfo a Q. La somma α + β viene definita dalla successione somma {an + bn}, e analogamente avviene per il prodotto; la relazione di disuguaglianza α ≥ β sussiste se {an ≥ bn} per almeno una scelta delle successioni. La topologia di R è definita dalla distanza d(α, β) = |α − β|. Si mostra che l’insieme così definito è ancora un campo ed è completo, nel senso che ogni successione di Cauchy di reali ammette limite in R. Questa definizione, dovuta a G. Cantor, fa uso solo delle proprietà topologiche di Q, a differenza di quella data da R. Dedekind (→ Dedekind, sezione di) che ne utilizza invece l’ordinamento. Si presta, quindi, a essere generalizzata a spazi metrici qualsiasi (→ completamento).