densita

densita

densità in fisica, termine che indica il rapporto tra la massa e il volume di un corpo. Per analogia, il termine denso è variamente utilizzato in matematica in opposizione a discreto.

Densità di un insieme rispetto a un ordinamento

Un insieme X dotato di un ordinamento totale ≤ è detto denso se ≤ è un ordinamento denso, cioè se per ogni a, b ∈ X, con a ≤ b e a ≠ b esiste un elemento x tra i precedenti, cioè un elemento che sia preceduto da a e che preceda b: a < x < b. Se ne esiste uno, ne esistono infiniti e ciò spiega il termine utilizzato. Gli insiemi N dei numeri naturali e Z dei numeri interi non sono densi, mentre lo sono lʼinsieme Q dei numeri razionali e R dei numeri reali.

Densità di un sottoinsieme in uno spazio metrico

Un sottoinsieme Y di uno spazio metrico X si dice denso in X se, per ogni elemento x di X e per ogni numero reale positivo ε, esiste un elemento y di Y che dista da x meno di ε. Questo equivale a richiedere che ogni elemento di X sia limite di una successione definita in Y. Per esempio, lʼinsieme Q dei numeri razionali è denso nellʼinsieme R dei numeri reali: questa è una conseguenza del fatto che R è il completamento metrico di Q; il che, in particolare, comporta che ogni numero reale è limite di una successione definita in Q.

Densità di un sottoinsieme in uno spazio topologico

La nozione di densità definita per uno spazio metrico può essere generalizzata a un arbitrario spazio topologico X: un sottoinsieme Y di X si dice denso in X se, per ogni elemento x di X e per ogni intorno U di x in X, esiste un elemento y di Y che appartiene a U.

Densità di probabilità

Per questa accezione del termine si veda → densità, funzione di; → probabilità, densità di.