DERIVATA

DERIVATA (ted. derivierte o abgeleitete Funktion, Ableitung, Differentialquotient; ingl. derived function, derivative, derivate)

Termine matematico, rispondente a un concetto, che trova applicazione nello studio d'ogni legge di mutua dipendenza tra grandezze geometriche o meccaniche o fisiche, ecc. Siano x ed y le misure di due grandezze variabili, tali che, in forza d'una legge qualsiasi, la y dipenda dalla x o, come si dice in matematica, sia funzione (v.) della x, e sia y = f (x) il legame tra x ed y. Quando la x, partendo da un suo valore x₀, varia fino ad assumere un altro valore x₁, la y corrispondentemente parte dal valore f (x₀) per giungere al valore f (x₁). La variazione f (x₁) − f (x₀) subita dalla y è caratterizzata, rispetto alla corrispondente variazione x₁ − x₀ della x, dal rapporto (detto incrementale)

Ora, in generale, nello studio d'un fenomeno interessa, più che il raffronto fra stadî lontani, l'indagine del passaggio graduale da ciascuno stadio a quelli contigui, onde si è condotti a considerare il rapporto (1) per variazioni piccolissime della x, alle quali - se, come di solito accade, il fenomeno presenta caratteri di continuità - corrispondono anche per la y variazioni piccolissime. Ed anzi, con un procedimento riduttivo consueto nella matematica, si considera non già il rapporto (1) stesso, bensì quel valore limite, cui esso si approssima indefinitamente o tende, quando, tenuto fisso x₀, si fa tendere x₁ ad x₀. Se ciò che si è detto partendo da x₀ si ripete a partire da ogni altro valore della x, e a ciascun valore della x si associa il valore limite del corrispondente rapporto incrementale (1), si perviene ad una nuova funzione che si chiama la derivata della funzione data f (x) e si denota solitamente con f′ (x). Essa è dunque definita dall'equazione

Le applicazioni, che trova questo concetto di derivata sono numerose. Se s'immagina un punto mobile, con legge qualsiasi, su di una data traiettoria, per es. rettilinea, il cammino o spazio y, percorso da esso, è funzione del tempo x, impiegato a percorrerlo; e in tal caso la derivata dello spazio y rispetto al tempo dà, istante per istante, la velocità del mobile; e se di questa derivata si considera, alla sua volta, la derivata (o derivata seconda di y rispetto ad x) si ottiene l'accelerazione (v. cinematica). Se con y si denota la quantità di calore che bisogna somministrare all'unità di massa d'una sostanza per farle assumere la temperatura x (mantenendo costante il suo volume o la pressione cui essa è sottoposta), la derivata di y rispetto ad x è il calore specifico (rispettivamente a volume o a pressione costante) di quella sostanza (v. calore). Se y è la quantità d'acqua, che in una data conduttura traversa una data sezione nel tempo x, la derivata di y rispetto ad x è la portata della conduttura; e in modo perfettamente analogo si definisce l'intensità della corrente elettrica lungo un filo conduttore, quando y denoti la quantità di elettricità che passa traverso una data sezione del filo nel tempo x (v. corrente elettrica). Se di uno qualsiasi di questi fenomeni si considera il diagramma (cioè la curva rappresentativa della corrispondente funzione y = f (x), in un piano in cui sia fissato un sistema di coordinate (v.) cartesiane ortogonali), la derivata f′ (x) fornisce, punto per punto, la pendenza o rapporto direttivo della tangente al diagramma cioè la tangente goniometrica dell'angolo, che codesta tangente forma con l'asse delle (v. fig.).

Per più precisi ed ampî sviluppi sul concetto di derivata, v. differenziale, calcolo.