derivato
derivato
derivato termine usato in matematica con diversi significati.
☐ In analisi e, più in generale, in topologia, il derivato di un insieme G (in R o Rn) o insieme derivato è lʼinsieme G′ costituito dai suoi punti di accumulazione. Un insieme derivato è sempre chiuso. Un insieme G è chiuso se G′ ⊆ G. Un insieme che coincide con il suo derivato si dice insieme perfetto. Per esempio, è perfetto un intervallo chiuso [a, b], ma lo è anche lʼinsieme ternario di Cantor (→ Cantor, polvere di). Si possono definire per ricorrenza (anche transfinita) i derivati successivi di G:
La catena si arresta quando uno dei derivati è perfetto o vuoto. Per esempio, il derivato dellʼinsieme G = {0} ∪ {1/n + 1/(mn), m, n ∈ N0} è lʼinsieme G′ = {0} ∪ {1/n, n ∈ N0}, G″ = {0}, mentre i derivati successivi sono vuoti e la catena si interrompe. Per lʼinsieme H =Q ∩ [0,1] la catena si interrompe subito perché il suo derivato H′ = [0, 1] è perfetto.
☐ In algebra, il derivato di un gruppo è il minimo sottogruppo contenente tutti i commutatori degli elementi del gruppo.