dipendenza lineare

dipendenza lineare

dipendenza lineare caratteristica posseduta dagli elementi di un insieme {x₁, …, x_n}, costituito da numeri, vettori, matrici, polinomi ecc. su un campo K quando esiste una loro combinazione lineare a₁x₁ + … + a_nx_n, con coefficienti in K non tutti nulli, uguale a 0. Il concetto è relativo al campo su cui si opera. Per esempio, i numeri 1 e π non sono linearmente dipendenti sul campo Q dei numeri razionali perché a₁1 + a₂π = 0 se e solo se a₁ = a₂ = 0; sono invece linearmente dipendenti sul campo R dei numeri reali perché (−1)1 + (1/π)π = 0. In algebra lineare, la nozione si applica ai vettori e la dipendenza lineare di n vettori ne segnala un particolare legame geometrico: per esempio, tre vettori di R³ sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari.

Con riferimento a un intervallo, in analisi un sistema di vettori w_k(x) ∈ Rⁿ, con 1 ≤ k ≤ n, soluzioni di un sistema lineare omogeneo di equazioni differenziali, si dice linearmente dipendente in un dato intervallo [a, b] se esiste una n-pla di costanti γ_k non tutte nulle tali che