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gaussiana, distribuzione

Dizionario di Economia e Finanza (2012)
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gaussiana, distribuzione


Distribuzione di eccezionale rilevanza nel calcolo delle probabilità e in statistica. Una singola variabile aleatoria X si dice distribuita normalmente o con distribuzione normale o g., di parametri m, s, se è dotata per ogni x reale di densità f(x)=(2πs2)−1/2exp[−(x−m)2/2s2]. Si dimostra che il ruolo dei parametri è quello di valore atteso (m), che è anche contemporaneamente moda e mediana della distribuzione, e di scarto quadratico medio o deviazione standard (s). I due parametri sintetizzano dunque, rispettivamente, la tendenza centrale e la dispersione (variabilità) della distribuzione della variabile aleatoria. Geometricamente, la densità è rappresentata da una curva a forma di campana, detta curva g. o curva degli errori, simmetrica rispetto a m, nel cui punto assume il valore massimo (2πs2)−1/2. Essa diviene infinitesima al divergere di x e ha due flessi in corrispondenza dei valori di ascissa m−s e m+s. Intuitivamente, la curva è più diffusa e meno slanciata al crescere di s. Di particolare rilevanza è la distribuzione corrispondente alla coppia di parametri m=0, s=1, ovvero di densità f(x)=(2π)−1/2exp[−(x)2/2]: essa è detta normale standard. Dato il frequente impiego nelle applicazioni della distribuzione normale, sono state costruite tabelle numeriche molto precise, ossia con passo molto ridotto di x, della funzione cumulata, o funzione di ripartizione Z(x)=P(Z≤x) o del suo complemento a 1(P(Z>x)). Le tabelle permettono di valutare la probabilità che una N(m, s) assuma determinazione minore (o maggiore) di un certo valore y. Vale infatti la P(N≤y)=P(Z≤(y−m)/s) e basta fare ricorso alle tavole della cumulata di Z in corrispondenza a x=(y−m)/s. Questa proprietà è utilizzata anche per calcolare le probabilità di scarti assoluti dalla media superiori a multipli della deviazione standard. In particolare, P(|N−m|>s) (o di 2s o di 3s) è circa 0,3173 (o 0,0455 o 0,0027). Ciò significa che la probabilità di scarti dalla media superiori a 2 (3) deviazioni standard è inferiore al 5% (3‰).

La classe delle distribuzioni g. gode di notevoli proprietà. La somma di due o più variabili normali indipendenti è ancora normale con media pari alla somma delle medie e varianza pari alla somma delle varianze. Tende alla g. (ovvero è approssimativamente normale) anche la somma di un numero sufficientemente grande di variabili indipendenti e ugualmente distribuite (anche se non g.) con varianza finita non nulla (teorema di Lindeberg-Levy) e più in generale (teoremi di Liapounoff e di Lindeberg-Feller) la somma di un numero sufficientemente grande di variabili indipendenti, anche se non ugualmente distribuite, a condizione che la varianza di ogni singolo addendo sia trascurabile (tecnicamente converga a zero al divergere della numerosità) rispetto alla somma delle varianze. Questo risultato è di grande rilievo nelle applicazioni assicurative; consente infatti, considerando con qualche disinvoltura fra loro indipendenti i rischi coperti da una compagnia di assicurazioni, di valutare come approssimativamente normale la distribuzione del totale dei sinistri in capo alla compagnia stessa. Distribuzioni normali congiunte riguardano coppie o, più in generale, n-ple di variabili aleatorie. In particolare, la distribuzione di densità congiunta di una coppia (X,Y) di variabili aleatorie è una funzione di 5 parametri; oltre alla coppia di medie e alla coppia di varianze interviene anche il coefficiente di correlazione lineare fra le due variabili. Nelle applicazioni finanziarie risulta di particolare importanza la distribuzione log-normale; essa è quella di una variabile aleatoria il cui logaritmo naturale abbia distribuzione gaussiana. Si considerano, infatti, approssimativamente log-normali le distribuzioni dei prezzi azionari. Di conseguenza, distribuzioni log-normali intervengono nelle formule che danno il prezzo teorico di opzioni su titoli azionari (➔ Black-Scholes, formula di).

Vedi anche
probabilità probabilità Nel linguaggio scientifico, in presenza di fenomeni casuali (o aleatori), probabilita di un evento è il numero, compreso fra 0 e 1, che esprime il grado di possibilità che l’evento si verifichi, intendendo che il valore minimo 0 corrisponda al caso in cui l’evento sia impossibile, mentre ... statistica Scienza che ha per oggetto lo studio dei fenomeni collettivi suscettibili di misura e di descrizione quantitativa: basandosi sulla raccolta di un grande numero di dati inerenti ai fenomeni in esame, e partendo da ipotesi più o meno direttamente suggerite dall’esperienza o da analogie con altri fenomeni ... geometria In senso ampio e generico, ramo della matematica che studia lo spazio e le figure spaziali. 1. Cenni storici 1.1 L’antichità. - L’origine della geometria è legata a concreti problemi di misurazione del terreno (nacque a scopi agrimensori nella zona del delta del Nilo); si trattava quindi essenzialmente ... integrale In matematica, operazione eseguita su una funzione di variabile reale o complessa per determinare l’area delimitata dalla funzione stessa e dall’intervallo su cui è definita. Il termine s’incontra per la prima volta in uno scritto di G. Bernoulli (1690); le denominazioni di integrale definito e integrale ...
Tag
  • CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
  • SCARTO QUADRATICO MEDIO
  • VARIABILE ALEATORIA
  • LOGARITMO NATURALE
  • VALORE ATTESO
Altri risultati per gaussiana, distribuzione
  • distribuzione normale
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    distribuzione normale distribuzione di probabilità relativa a una variabile aleatoria continua, di fondamentale importanza in statistica e probabilità sia perché costituisce una buona approssimazione di altre distribuzioni (per esempio della distribuzione binomiale quando il numero delle prove è grande) ...
  • distribuzione normale (gaussiana)
    Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
    Luca Tomassini Una delle più importanti distribuzioni di probabilità, nota anche come legge di Gauss. Svolge un ruolo fondamentale come distribuzione di una o più variabili casuali (in questo caso anche come distribuzione congiunta) ma anche nella teoria dei processi stocastici. La sua definizione ...
Vocabolario
distribuzióne
distribuzione distribuzióne s. f. [dal lat. distributio -onis]. – 1. a. L’atto di distribuire, cioè di dividere, ripartire, dispensare o assegnare fra più persone o in più luoghi: d. di viveri, di pacchi dono; la d. della posta; la d. del...
distribüire
distribuire distribüire v. tr. [dal lat. distribuĕre, comp. di dis-1 e tribuĕre «attribuire»] (io distribüisco, tu distribüisci, ecc.). – 1. a. Dividere fra più persone dando a ciascuno la parte che gli spetta: d. i premî, le ricompense...
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