distribuzione geometrica

distribuzione geometrica

Sia data una successione bernoulliana di eventi, cioè una successione di eventi indipendenti in ciascuno dei quali la probabilità di successo è p e quella di insuccesso q=1−p (per es. una serie di lanci di una moneta, con p=1/2). La variabile casuale X uguale al numero di eventi antecedenti al primo successo può assumere soltanto valori interi non negativi m=0,1,.., con probabilità rispettive p(m)=pq^m, e ha una distribuzione di probabilità detta geometrica. Tale distribuzione può essere ricavata dalla definizione medesima:

[1]

Come si vede essa è generata da una progressione geometrica (nella variabile q), circostanza dalla quale deriva il suo nome. Analogamente, la funzione generatrice è

P(t)=pt/(1−qt).

Come sempre, si ricavano le probabilità p(m) calcolando la derivata m-esima di P(t) per t=0. La distribuzione geometrica può essere completamente caratterizzata dalla fondamentale proprietà dell’assenza di memoria. Più precisamente, una variabile casuale Y a valori interi non negativi è geometricamente distribuita se e solo se

[2]

dove P{X |Y } indica la probabilità dell’evento X condizionata dall’occorrenza dell’evento Y. In altri termini, ottenere n nuovi insuccessi dopo m insuccessi ha esattamente la medesima probabilità che ottenerli cominciando a contare dal primo lancio.

→ Probabilità