divisibilita

divisibilita

divisibilità relazione tra numeri interi legata all’operazione di divisione. È la proprietà di due numeri interi tali che il resto della divisione intera fra il primo e il secondo sia zero, ossia il primo numero è un multiplo del secondo: un numero intero m divide un numero intero n se esiste un terzo intero c tale che mc = n. Per esempio, 3 divide 15 perché esiste 5 per cui 3 · 5 = 15. In simboli, si scrive allora m |n (che si legge «m divide n»). Viceversa, n si dice divisibile per m se m divide n. Ogni numero è divisibile per sé stesso e per 1; se è divisibile solo per sé stesso e per 1, il numero si dice primo. Confrontando due fattorizzazioni in numeri primi di m e n, se m divide n, allora ogni fattore primo di m compare nella fattorizzazione di n con esponente maggiore o uguale a quello con cui compare nella fattorizzazione di m. La divisibilità è una relazione riflessiva e transitiva tra numeri interi; essa non è però un ordinamento in quanto non è antisimmetrica: se infatti a e b sono due interi tali che a |b e b |a, allora può darsi che b = a oppure b = −a. Da ciò segue che la divisibilità risulta una relazione d’ordine (parziale) soltanto se ci si restringe a considerare numeri naturali non nulli. Similmente, la relazione di divisibilità può essere riformulata nell’ambito dei polinomi a coefficienti in qualsiasi anello: un polinomio a(x) è divisibile per un polinomio b(x) (con coefficienti nello stesso anello) se esiste un terzo polinomio c(x) (con coefficienti nello stesso anello) tale che b(x)c(x) = a(x). Per esempio, nell’anello dei polinomi a coefficienti interi, il polinomio x ² − 1 è divisibile per x + 1, infatti (x + 1)(x − 1) = x ² − 1.