divisore

divisore

divisore nell’operazione di divisione, è detto divisore il numero per cui si divide il dividendo. In a : b il divisore è il numero b e, se a ≠ 0, non può essere uguale a 0. Nell’insieme Z dei numeri interi, un numero intero d è invece detto divisore di un intero n se esiste un intero m tale che n = d · m, cioè se d divide n. Ogni intero possiede sempre due divisori, detti divisori banali: essi sono (a meno del segno) 1 e il numero stesso. Tutti i divisori di a a eccezione di 1 e di ±a si chiamano divisori propri di a. Un numero che possiede solo i divisori banali si chiama numero primo. Due interi sono detti coprimi (o primi fra loro) se non ammettono divisori comuni diversi da 1 o −1. Si chiama inoltre massimo comune divisore (indicato con il simbolo mcd) il più grande divisore comune a due numeri interi a eb.

Più in generale, in un anello A, un elemento a è detto divisore di un elemento b se esiste un elemento c tale che b = a · c. Se b = 0 e a e c sono diversi da 0, gli elementi a e c sono detti divisori dello zero. Un anello commutativo con unità e privo di divisori dello zero è detto dominio d’integrità. Poiché se b è divisore di a tale è anche −b, ci si può limitare a studiare i divisori positivi di a. Ogni intero maggiore di 1 è rappresentabile in modo unico, a meno dell’ordine, come prodotto di numeri primi (teorema fondamentale dell’aritmetica elementare). Raggruppando in potenze fattori primi uguali e disponendo le potenze secondo la grandezza del numero primo che ne è la base, si ottiene la scomposizione canonica del numero stesso

a partire da tale scomposizione si possono ottenere tutti i divisori positivi di n: essi sono in numero di (t₁ + 1) · ... · (t_r + 1), e sono i numeri del tipo

dove v₁, ..., v_r assumono tutti i valori compresi tra 0 e t₁, ..., t_r rispettivamente. A partire dalla scomposizione canonica di due numeri a e b, si possono ricavare tutti i divisori comuni a essi, che sono i numeri del tipo

dove v_j assume di volta in volta tutti i valori da 0 fino al più piccolo tra gli esponenti di p_j nelle due rappresentazioni: il più grande di tutti i divisori comuni, detto massimo comune divisore (mcd). Per individuarlo a partire dalle rispettive scomposizioni canoniche si considera il prodotto dei fattori comuni, ciascuno con il minimo esponente. Per esempio, dalle scomposizioni

si ricava che 2 · 11 è il mcd. Il mcd di due numeri interi è 1 se e solo se i due numeri sono coprimi. Il mcd di due numeri interi positivi può essere determinato anche mediante l’algoritmo euclideo della divisione con resto.