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dominio a fattorizzazione unica

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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dominio a fattorizzazione unica

Luca Tomassini

Sia S un dominio d’integrità con unità, ovvero un anello commutativo con unità tale che se a≠0 e b≠0 (con a,b∈S) allora ab≠0 . Due elementi c,d di S si dicono associati se a=ub, con u invertibile (ovvero esiste a−1) in S; un elemento non invertibile a si dice irriducibile (o primo) se a=bc implica che a o b o entrambi siano invertibili. Nel caso dei numeri interi relativi ℤ, per es., 1 e −1 sono gli unici elementi invertibili. Un elemento è, dunque, irriducibile se e soltanto se è divisibile esclusivamente per essi o per sé stesso (e il suo opposto), ovvero è primo. Osserviamo che ogni intero relativo si può scrivere come prodotto di numeri primi. La generalizzazione di tale proprietà conduce alla definizione del concetto di dominio a fattorizzazione unica. Un dominio d’integrità S è detto dominio a fattorizzazione unica se: (a) ogni elemento a≠0 è invertibile o uguale al prodotto di un numero finito di elementi ;irriducibili di S; (b) la decomposizione precedente è unica a meno di elementi associati agli irriducibili e del loro ordine. In virtù dell’esistenza di un algoritmo di divisione, un anello euclideo è sempre un dominio a fattorizzazione. Il viceversa è però falso, come attesta il caso dell’anello F[x1,x2] dei polinomi sul campo F nelle variabili x1 e x2. Consideriamo ora l’insieme R[x1,x2] dei polinomi nelle variabili x1, x2 a coefficienti in un anello commutativo R, con le usuali operazione di somma e prodotto. Nonostante R non sia un campo (possieda cioè elementi non invertibili), R[x1,x2] è ancora un anello commutativo. Le relazioni tra le proprietà algebriche dell’insieme R e quelle dei corrispondenti anelli di polinomi R[x1], R[x1,x2],... trovano espressione nel seguente importante teorema: se R è un dominio a fattorizzazione allora anche R[x1,xn], n>0, lo è. In altri termini, se R soddisfa le proprietà (a) e (b) nell’anello R[x1,xn] esiste un algoritmo di divisione che ha le usuali proprietà ed è possibile ricondurre lo studio dei polinomi a quello dei loro fattori irriducibili.

→ Invarianti, teoria degli

Vedi anche
irriducibile In matematica, un polinomio, in una o più variabili, con coefficienti reali, si dice irriducibile nel campo reale se esso non si può decomporre nel prodotto di due o più polinomi (non ridotti a delle costanti), aventi anch’essi coefficienti reali. In generale, un polinomio f, in una o più variabili, ... equivalenza Uguaglianza in genere tra cose di natura o qualità diversa.  fisica 1. Principi di equivalenza Principi che postulano l’uguaglianza di effetti prodotti da cause apparentemente diverse (per es., nell’elettromagnetismo il principio di equivalenza tra un magnete e un circuito percorso da corrente) o la ... campo biologia ● campo morfogenetico Area dell’embrione, o del primordio di un germoglio, dotata della capacità di dare origine a un determinato organo; per es., i campo morfogenetici dell’arto posteriore danno origine ad arti posteriori, quelli branchiali a branchie ecc. La realizzazione delle capacità di ... non commutativo In matematica, si dice di struttura nella quale sia definita un’operazione che non è commutativa (➔ commutativa, proprietà). Tali strutture hanno assunto un ruolo importante nella caratterizzazione della cosiddetta geometria non commutativo, che studia le proprietà di spazi funzionali attraverso quelle ...
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  • POLINOMI
Altri risultati per dominio a fattorizzazione unica
  • dominio a fattorizzazione unica
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    dominio a fattorizzazione unica (in sigla ufd) dominio d’integrità in cui ogni elemento si fattorizza come prodotto di elementi primi. L’anello degli interi Z e l’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K sono esempi di domini a fattorizzazione unica, così come lo sono ogni dominio euclideo ...
Vocabolario
fattoriżżazióne¹
fattorizzazione1 fattoriżżazióne1 s. f. [der. di fattorizzare]. – Operazione matematica, eseguibile in un insieme algebrico in cui sia definita una moltiplicazione, consistente nel decomporre, cioè nell’esprimere un elemento dell’insieme...
fattoriżżazióne²
fattorizzazione2 fattoriżżazióne2 s. f. – Termine con cui è talora reso in italiano l’ingl. factoring (v.).
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