dominio d'integrita

dominio d'integrita

dominio d’integrità o dominio, anello commutativo unitario e integro, vale a dire privo di divisori dello zero (→ anello). In un dominio d’integrità, come in ogni anello integro, vale la legge di cancellazione del prodotto. Esempi di domini d’integrità sono tutti i campi, l’anello Z dei numeri interi e gli anelli di polinomi Z[x], Q[x], R[x] e C[x]. Più in generale, se D è un dominio d’integrità, allora è tale anche l’anello D[x] dei polinomi a coefficienti in D. Se D è un dominio d’integrità contenente solo un numero finito di elementi, allora esso è necessariamente un campo (teorema di Wedderburn). Se D è un dominio d’integrità, allora è sempre possibile costruire un campo in cui esso risulta immerso. Esiste un campo privilegiato contenente D: esso è detto il campo dei quozienti di D ed è contenuto (a meno di isomorfismo) in ogni altro campo in cui si immerge D. Essere un dominio d’integrità è per un anello condizione necessaria e sufficiente affinché esso possa essere immerso in un campo. Casi particolari di domini d’integrità sono i → domini a fattorizzazione unica, i → domini a ideali principali, i → domini euclidei e i domini di → Dedekind, ottenuti richiedendo ulteriori proprietà.