Dedekind, dominio di
Dedekind, dominio di
Dedekind, dominio di o anello di Dedekind, particolare struttura algebrica costituita da un dominio d’integrità A (cioè un anello commutativo unitario privo di divisori dello zero) che soddisfa le tre seguenti condizioni:
• A è un anello noetheriano (cioè ogni suo ideale è finitamente generato);
• A è integralmente chiuso;
• ogni ideale primo non nullo di A è massimale.
In modo equivalente, un dominio di integrità A è un dominio di Dedekind se e solo se è noetheriano e, per ogni ideale massimale M, la relativa localizzazione AM di A in M è un anello a valutazione discreta. In un dominio di Dedekind è possibile fattorizzare gli ideali: ogni ideale non nullo si decompone in modo unico (a meno di riordinamenti tra i fattori) come prodotto di ideali primi; questa proprietà in effetti caratterizza i domini di Dedekind, nel senso che ne fornisce una terza definizione equivalente. Ogni dominio a ideali principali è un dominio di Dedekind; più precisamente, un dominio di Dedekind è un dominio a ideali principali se e solo se è un dominio a fattorizzazione unica.
Un primo esempio fondamentale di dominio di Dedekind è la chiusura integrale di un dominio d’integrità A in un campo K ⊆ A, vale a dire l’insieme di tutti gli interi algebrici di K su A. Un secondo fondamentale esempio di dominio di Dedekind è fornito dalla geometria algebrica: se C è una curva algebrica affine definita su un campo K e priva di punti singolari, allora il suo anello delle coordinate K[C] è un dominio di Dedekind (→ geometria algebrica).