elementi finiti, metodo degli

elementi finiti, metodo degli

elementi finiti, metodo degli procedimento numerico utilizzato per la risoluzione di problemi rappresentabili in forma variazionale (→ variazioni, calcolo delle), ossia riconducibili alla ricerca di un punto critico per un funzionale / (detto energia) definito su un opportuno spazio di funzioni. Il procedimento è utilizzato nei metodi numerici per la soluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali e delle equazioni integrali. In questi casi, l’approccio per la ricerca delle soluzioni con il metodo degli elementi finiti consiste nella trasformazione dell’equazione differenziale alle derivate parziali in un sistema di equazioni differenziali ordinarie da risolvere con metodi approssimati, quali il metodo di → Eulero, il metodo di → Runge-Kutta e altri. Nella ricerca delle soluzioni di una equazione alle derivate parziali, si cerca pertanto un’equazione che la approssimi e la cui soluzione sia una soluzione approssimata stabile numericamente (→ soluzione, stabilità di una), cioè tale che, modificando casualmente le condizioni al contorno, essa non diverga a causa della propagazione degli errori generata dall’algoritmo di calcolo.

Il metodo degli elementi finiti consiste nella discretizzazione del dominio D, dov’è ambientato il problema, ovvero nella suddivisione del dominio D nell’unione disgiunta di un numero finito di sottodomini più semplici. Ciò si realizza attraverso l’uso di semplici strutture di base, che sono appunto gli elementi finiti. Per le equazioni definite sul piano essi sono normalmente triangoli o quadrilateri, oppure, per le equazioni definite sullo spazio, semplici poliedri, come esaedri o tetraedri. Su ciascuno di questi elementi finiti di base si assume che la soluzione dell’equazione alle derivate parziali sia una combinazione lineare di particolari funzioni, chiamate funzioni di forma o di base, definite attraverso gli elementi finiti. Tipicamente, tali funzioni sono polinomiali, per cui la soluzione dell’equazione differenziale originaria risulterà essere approssimata da una funzione polinomiale su ciascun elemento finito. L’accuratezza della soluzione dipende dal grado del polinomio scelto: maggiore è il grado, migliore è l’approssimazione, ma più onerosa è, in termini di costo di calcolo, la ricerca numerica della soluzione. Il metodo degli elementi finiti (spesso indicato con l’acronimo inglese fem) è uno dei più usati soprattutto per la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali nei casi in cui il dominio ha una forma particolarmente complessa, quando la precisione richiesta per la soluzione non è omogenea nel dominio o quando la soluzione stessa non è regolare nell’intero dominio: tutti casi, questi, in cui il frazionamento del dominio risulta particolarmente utile, salvo imporre opportune condizioni di raccordo lungo i lati degli elementi finiti in cui il dominio è stato ripartito. Il metodo, che porta alla risoluzione di un sistema di equazioni algebriche generalmente di grandi dimensioni e da effettuare ricorrendo a opportuni procedimenti numerici, è impiegato largamente nella soluzione di problemi di modellizzazione, per esempio del sistema di forze agenti sul telaio di una automobile e in generale nelle prove di un motore o anche nei test distruttivi realizzati per stabilire la sicurezza di veicoli.