elemento improprio

elemento improprio

elemento improprio in geometria, espressione che indica un cosiddetto ente all’infinito. La nozione nasce nell’ambito della teoria della prospettiva, elaborata in epoca rinascimentale, quando si comprese che rette parallele nella realtà, quali per esempio le linee di divisione di un pavimento a mattonelle quadrate che nella visione appaiono convergenti, dovevano essere rappresentate come convergenti a un unico punto di fuga. Tale punto viene allora aggiunto come un elemento improprio, cioè all’infinito, di tutte le rette tra loro parallele. A ogni retta è quindi aggiunto un → punto improprio, o punto all’infinito, che ne costituisce la direzione. Ciò consente di assegnare una intersezione comune (centro) a tutte le rette parallele di un fascio improprio, analogamente a quanto accade per un fascio di rette proprio (→ fascio). L’insieme dei punti impropri del piano costituisce a sua volta la → retta impropria o retta all’infinito, che indica la giacitura del piano. Nello spazio tridimensionale viene aggiunto come ulteriore elemento improprio il piano improprio o piano all’infinito, formato da tutte le rette improprie.

La definizione di elementi impropri può essere introdotta in uno spazio euclideo o affine di dimensione n. Uno spazio con l’aggiunta degli elementi impropri è detto spazio ampliato. Occorre osservare che, con ulteriore generalizzazione, in uno spazio proiettivo gli elementi impropri aggiunti non sono distinti da quelli propri e che quindi, per esempio, come si dice che «due punti distinti individuano sempre una retta» (frase che, in termini di geometria non proiettiva, può essere interpretata dicendo che una retta è individuata non soltanto da due punti propri, ma anche da un punto proprio e una direzione), così «due rette distinte individuano sempre un punto» (frase che, in termini di geometria non proiettiva, può essere interpretata stabilendo che tale punto è proprio o improprio, e in tale ultimo caso le rette sono parallele).