elettrostatica

elettrostatica

elettrostàtica [Comp. di elettro- e statica] [EMG] La parte dell'elettrologia che studia i fenomeni elettrici derivanti da cariche di valore costante e in posizione fissa: per i fenomeni elettrici di tale tipo (fenomeni elettrostatici) che si svolgono nel vuoto v. elettrostatica nel vuoto, mentre per quelli che si svolgono anche in corpi materiali v. dielettrico, limitatamente alla parte dielettrici in campi elettrostatici. ◆ [EMG] Equazione generale dell'e.: l'equazione di Poisson per il potenziale elettrostatico: v. elettrostatica nel vuoto: II 385 f. ◆ [EMG] Legge fondamentale dell'e.: v. elettrostatica nel vuoto: II 385 e. ◆ [EMG] Problema generale dell'e.: la determinazione del campo elettrostatico generato da più conduttori, di forma data e in posizione data, fissa, uno almeno dei quali porti una carica netta, data e costante (i conduttori senza carica netta si caricano per induzione a opera di quelli carichi). Rinviando a elettrostatica nel vuoto: II 388 b per gli aspetti teorici fondamentali, ricorderemo qui semplic. la procedura di risoluzione nei due casi in cui i dati di partenza siano i potenziali Vi dei conduttori, con i numero d'ordine degli N conduttori dati (problema di Dirichlet), oppure siano le cariche qi di essi, ovviamente nulle per i conduttori che si carichino soltanto per induzione (problema di Neumann). In ogni caso, se si considera il solo spazio non occupato dai conduttori, esso è il dominio (a connessione multipla) dell'equazione differenziale (lineare alle derivate parziali seconde) di Laplace, ∇2V(P)=0 per il potenziale V(P), con P punto generico dello spazio anzidetto; se, come generalm. accade, la funzione potenziale è continua, derivabile e con le derivate continue, la soluzione generale di tale equazione esiste ed è unica; si tratta in generale di una combinazione di funzioni esponenziali ad argomento complesso, che dà, nel campo reale, una combinazione di funzioni seno e coseno; in questa soluzione generale compaiono 2(N+1) costanti d'integrazione, da determinare, relative alle condizioni da imporre a V(P) e alla sua derivata prima nei punti degli N+1 contorni del dominio dell'equazione di Laplace (la sfera all'infinito e le superfici degli N conduttori). Nel problema di Dirichlet, la soluzione particolare adatta al caso in esame s'ottiene imponendo che: (a) all'infinito il potenziale V s'annulli come r-1, con r distanza dalla distribuzione di conduttori (supposta non estendentesi all'infinito) e che la sua derivata prima (cui è proporzionale il modulo dell'intensità del campo elettrico E) vi si annulli come r-2; (b) sulla superficie di ogni generico i-esimo conduttore V(P) assuma il competente valore Vi dato e l'unica derivata prima non nulla sia quella secondo la normale (campo E puramente ortogonale alla superficie); ciò si traduce in un sistema di 2(N+1) equazioni lineari nelle anzidette 2(N+1) costanti da determinare; risolto che sia tale sistema, la funzione potenziale è nota ovunque e dal gradiente di essa si ha immediatamente la funzione del campo, E(P)=-∇V(P). La risoluzione del problema di Neumann è molto più complessa. Si osserva preliminarmente, come conseguenza del problema di Dirichlet, che la precisazione della funzione di campo porta in partic. a conoscere E in punti P' infinitamente vicini al generico punto P'' della superficie di ogni singolo conduttore; applicando il teorema di Coulomb, è allora immediatamente nota la funzione σ(P'')=ε₀E(P') che dà la densità areica di carica sulla superficie del conduttore, con ε₀ costante dielettrica del vuoto se s'immagina, per semplicità, che i conduttori si trovino nel vuoto (o, con ottima approssimazione, nell'aria); integrando la funzione σ(P'') sulla superficie di ogni conduttore si ha la carica netta qi del conduttore medesimo; orbene, il potenziale Vi di ogni conduttore è legato alle cariche qj da una relazione lineare, e viceversa: Vi=Σjpijqj, qj=ΣicjiVi, con i,j=1,...,N, dandosi ai pij(=pji) il nome di coefficienti di potenziale e ai cji(=cij) quello di coefficienti di carica, o di capacità (per i=j) o d'induzione (per i€j). Il problema di Neumann si riduce dunque a un più semplice problema di Dirichlet una volta che siano stati determinati i coefficienti di potenziale, in quanto questi consentono di passare, come dati iniziali, dalle cariche ai potenziali dei conduttori. Per determinare tali coefficienti, si attribuisce un potenziale fittizio Vi' a ciascuno dei conduttori e s'immagina che uno soltanto di essi (e sia, per es., il primo) abbia carica non nulla, q₁' (s'immagina che gli altri siano collegati alla terra); dalla prima delle relazioni precedenti si ha allora il sistema: V₁'=p₁q₁',..., VN'=p₁q'₁; si risolve il problema di Dirichlet con questi potenziali fittizi e si ottiene, come detto sopra, la corrispondente carica fittizia q₁', dopo di che dal detto sistema si hanno immediatamente i coefficienti di potenziale della colonna "1" della matrice N╳N dei pij; si considera successiv. come unico conduttore carico il conduttore 2,..., N, ottenendosi alla fine tutti i coefficienti; a questo punto, è possibile passare dalle cariche, note, ai corrispondenti potenziali calcolati, da usare come dati di partenza per il vero problema di Dirichlet appropriato alla situazione data; la complessità del problema di Neumann consiste dunque nel fatto che esso comporta la risoluzione di ben N+1 problemi di Dirichlet (di cui N "fittizi" e uno "vero"). Il problema generale dell'e. si presenta in moltissime circostanze, e precis. in tutte le situazioni in cui manchi una qualche simmetria che consenta una risoluzione più semplice e immediata; per es., già il calcolo della capacità mutua di due conduttori sferici uno dentro l'altro, ma non concentrici (una sorta di condensatore sferico asimmetrico) comporta la risoluzione di un problema generale dell'e. nei termini appropriati a questo apparentemente semplice caso.