ELICOIDE

ELICOIDE (ted. Schraubenfläche)

Si dice elicoide o superficie elicoidale ogni superficie generata da una curva indeformabile, assoggettata a un moto elicoidale uniforme, cioè composto di due moti uniformi, l'uno di rotazione intorno a un asse fisso e l'altro di traslazione parallela a quest'asse (v. cinematica, n. 19; elica). L'elicoide risulta così solcato da infinite eliche circolari, e per tutte queste eliche l'asse, il passo e il verso sono gli stessi (asse, passo e verso dell'elicoide). Come curva generatrice di un elicoide si può assumere una qualsiasi delle sue sezioni coi piani passanti per l'asse (sezioni meridiane o profili) o coi piani perpendicolari a esso (sezioni normali o rette), le une e, separatamente, le altre sovrapponibili fra loro. Se la curva generatrice ha comune con l'asse almeno un punto, l'asse giace per intero sull'elicoide, il quale si dice chiuso; si dice invece aperto, se la generatrice non ha alcun punto comune con l'asse, nel qual caso esistono sulla generatrice, almeno in generale, dei punti, i quali hanno dall'asse una distanza minima, e perciò determinano sull'elicoide delle eliche di raggio minimo e quindi di pendenza massima (eliche di gola).

Rispetto a una terna cartesiana, di cui l'asse z sia quello dell'elicoide, le equazioni parametriche di questa superficie sono date da:

dove h denota il passo ridotto dell'elicoide, u e v sono, per ogni punto dell'elica, la distanza dall'asse e l'anomalia rispetto al semipiano zx, che contiene il semiasse x positivo, e z − f(x) è l'equazione del profilo giacente in zx. L'equazione cartesiana è

Particolarmente notevoli sono gli elicoidi generati da una retta (elicoidi rigati) e quelli generati da un cerchio (elicoidi cerchiati).

Fra i primi ricordiamo: 1. l'elicoide sviluppabile, che è il luogo delle tangenti a una data elica circolare (spigolo di regresso dell'elicoide). Esso sega sé stesso secondo infinite sue eliche. Appartiene alla famiglia delle superficie di pendenza uniforme (cioè delle superficie i cui piani tangenti sono tutti ugualmente inclinati rispetto a un piano fisso), la quale è costituita, oltre che dai piani e dai coni rotondi, dalle superficie sviluppabili circoscritte alle eliche (anche non circolari); 2. l'elicoide rigato, chiuso, retto (superficie della scala a chiocciola e della vite a filetto rettangolare), generato da una retta incidente all'asse e perpendicolare a esso. Rientra nella famiglia dei conoidi (v.) ed è la sola superficie rigata ad area minima; 3. l'elicoide rigato, chiuso, obliquo (superficie della vite a filetto triangolare), generato da una retta incidente all'asse, ma non perpendicolare a esso. È diviso dall'asse in due falde (che, immaginando l'asse verticale, si possono dire l'una ascendente, l'altra discendente); e ogni sua sezione normale è una spirale di Archimede.

Fra gli elicoidi cerchiati si possono ricordare: 1. la colonna torsa, generata da un cerchio giacente in un piano perpendicolare all'asse. S'incontra abbastanza spesso in architettura e per lo più si tratta di colonne, costituite da due o tre elicoidi di questo tipo, fra di loro uguali e intrecciati; 2. la vite di Saint-Gilles, così chiamata perché esiste una vòlta di questo tipo presso la chiesa abbaziale di Saint-Gilles (Arles) in Provenza. È l'elicoide generato da un cerchio giacente in un piano passante per l'asse; 3. il serpentino, generato da un cerchio, il cui piano si mantenga sempre ortogonale all'elica descritta dal suo centro.

Aggiungiamo da ultimo che U. Dini ha dimostrato che fra le "superficie di A. Enneper" (superficie a curvatura costante, con un sistema di linee di curvatura piane) quelle per cui i piani delle linee di curvatura segano la superficie sotto un angolo costante sono elicoidi, chiamati appunto del Dini, il cui profilo è una trattrice (v.), avente come asintoto l'asse.