ELLISSOGRAFO

ELLISSOGRAFO

. Si designa con tale nome ogni strumento che permetta di descrivere a tratto continuo un'ellisse (v. coniche). Il più semplice procedimento per disegnare un'ellisse è basato sulla ben nota proprietà che la sonma delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai fuochi è costante ed eguale all'asse maggiore. Essendo fissato due punti F, F′ e una lunghezza 2 a > FF′, si realizza subito il tracciamento dell'ellisse avente per fuochi F, F′ e per asse maggiore 2a, mediante un filo di cui i capi siano fissati in F ed F′ (fig. 1). Basta tendere il filo in un suo punto P in modo che i tratti PF e PF′ risultino rettilinei e fare scorrere nel piano il punto P (costruzione dei giardinieri).

Sia ora un quadrangolo piano intrecciato FF′G′G (fig. 2) tale che i suoi lati soddisfacenti alle condizioni FG = F′G′, FF′ = GG′ siano aste rigide e articolate, cioè dotate di cerniere agli estremi F, F′, G, G′ (antiparallelogramma articolato). Se si tengono fisse le cerniere F ed F′ e si fanno rotare nel piano le aste FG, F′G′, il punto P, comune ad esse, descrive un'ellisse di cui F ed F′ sono i fuochi. Infatti, poiché i due triangoli PFF′, PG′G sono eguali per avere eguali i lati FF′, GG′, gli angoli in P e quelli in F e G′, segue che

Se poi si immagina un secondo piano, adagiato su quello della figura e connesso rigidamente con l'asta GG′, il punto P, durante il moto delle aste FG, F′G′, descrive su codesto piano mobile un'altra ellisse, di cui i fuochi sono i vertici mobili G e G′ dell'antiparallelogramma; e questa seconda ellisse rotola, senza strisciare, sull'ellisse avente per fuochi F ed F′.

Ma nella costruzione degli ellissografi si sfrutta per lo più il fatto che se un'asta rigida AB si muove in un piano in modo che i suoi estremi A e B scorrano rispettivamente su due rette Ox, Oy ortogonali, ogni punto P dell'asta descrive un'ellisse (fig. 3).

Infatti, se ϑ è l'angolo che la retta AB (orientata nel verso da A a B) fa con l'asse Ox (orientato nel verso da O ad A) e se si pone AP = b, PB = a, le coordinate x, y del punto P sono date dalle formule

Da queste, per eliminazione di ϑ, si trae

che è l'equazione dell'ellisse avente il centro in O e gli assi 2a, 2b rispettivamente posti sugli assi Ox, Oy (v. coniche). Basta fissare in P una punta scrivente per realizzare quindi il tracciamento continuo di un'ellisse (fig. 4). Uno strumento basato su questo principio prende anche il nome di compasso ellittico.

Esistono compassi che sono più particolarmente adatti al tracciamento di una semi-ellisse; essi sono usati dagl'ingegneri specialmente per disegnare archi di ellisse nella costruzione dei ponti (ricordiamo qui il compasso semi-ellittico di W. Stanley).

Ingegnosi ellissografi sono dovuti a J. Finney e E. Burstow; la loro costruzione è basata sulla combinazione di un moto circolare con un moto rettilineo.

Bibl.: Per la descrizione delle varie specie di ellissografi che sono stati immaginati, si veda W. Stanley, Mathematical drawing and measuring instruments, New York 1900.