ellissoide
ellissoide
ellissoide superficie algebrica del secondo ordine (quadrica) che costituisce l’analogo in tre dimensioni dell’→ ellisse. Ha un centro di simmetria, tre assi e tre piani di simmetria a due a due ortogonali. I suoi punti sono tutti → punti ellittici. In un sistema di riferimento cartesiano avente come piani coordinati i suoi piani di simmetria, l’equazione di un ellissoide in forma cartesiana è:
In tale riferimento, un ellissoide è intersecato dagli assi cartesiani in tre coppie di punti simmetrici rispetto all’origine, detti vertici. I segmenti che congiungono ciascuna coppia di vertici opposti sono chiamati assi dell’ellissoide e hanno lunghezza 2a, 2b, 2c. Le intersezioni non vuote di un ellissoide con un piano parallelo a un piano coordinato sono ellissi o punti, le intersezioni con i piani coordinati stessi sono dette sezioni ellittiche principali. Quando due dei tre parametri a, b, c sono tra loro uguali, la superficie è detta sferoide o ellissoide di rotazione e si può ottenere facendo ruotare un’ellisse intorno a uno dei suoi assi. Se a = b = c, l’ellissoide è una sfera e l’equazione diventa x 2 + y 2 + z2 = a2, che è l’equazione di una sfera di raggio a e rappresenta un caso particolare dell’ellissoide. Il volume di un ellissoide è
che, nell’ellissoide di rotazione, diventa V = (4/3)πab2 e, nella sfera di raggio a, V = (4/3)πa3. Qualsiasi ellissoide può essere ottenuto applicando a una sfera di raggio unitario una trasformazione lineare invertibile, prodotto di tre omotetie lungo gli assi del sistema di riferimento, di rispettivi rapporti a, b, c. Per estensione si può considerare un ellissoide in dimensione n > 3 come risultato di una trasformazione lineare invertibile, prodotto di n omotetie, su un’ipersfera n-dimensionale. L’ellissoide costituisce una prima approssimazione della forma della Terra, considerata un ellissoide di rotazione, e risulta molto importante in geodesia come figura di riferimento per la costruzione del → geoide.