endomorfismo

endomorfismo

endomorfismo in algebra, morfismo di un insieme A, dotato di un’opportuna struttura, in sé stesso. In riferimento a strutture algebriche come spazi vettoriali, gruppi o anelli, per endomorfismo si intende, rispettivamente, un’applicazione lineare di uno spazio vettoriale in sé stesso (rappresentata, relativamente a una fissata base, da una matrice quadrata), un omomorfismo di un gruppo in sé stesso, un omomorfismo di un anello in sé stesso. Più formalmente, nel contesto algebrico un endomorfismo è un’applicazione di A in sé stesso che ne conserva la struttura algebrica: se φ: A → A è un endomorfismo e se ∗ è una delle operazioni che determinano la struttura algebrica di A, allora, per ogni coppia di elementi a e b di A, vale φ(a ∗ b) = φ(a) ∗ φ(b). Per esempio, l’applicazione che associa a un numero intero n il suo doppio 2n, è un endomorfismo dell’insieme dei numeri interi dotato della struttura di gruppo rispetto all’addizione, in quanto 2(n + m) = 2n + 2m. La stessa applicazione d’altra parte non è un endomorfismo dell’insieme dei numeri interi dotato della struttura di anello rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione, in quanto 2(nm) = 2nm è diverso da 2n · 2m = 4nm se almeno uno tra gli interi n e m è diverso da 0.