Enigma: una spy story matematica

Enciclopedia della Matematica (2013)

Enigma è il nome di una macchina elettromeccanica ideata per scopi commerciali dall’ingegnere tedesco Arthur Scherbius nel 1918 e messa in vendita nel 1923, diventata famosa perché venne usata dall’esercito e dalla marina tedesca durante il regime nazista e la seconda guerra mondiale con l’obiettivo di cifrare le proprie comunicazioni radio e telegrafiche e decifrare quelle di interesse militare dei paesi nemici.

Nei primi decenni del Novecento, la crittografia si basava su due principi molto semplici: l’addizione e la sostituzione. Il primo metodo, secondo la Vita Caesarum di Svetonio, risale addirittura a Giulio Cesare, che lo usò nella guerra contro i galli. Ogni lettera del messaggio in chiaro viene ordinatamente cambiata nella corrispondente lettera cifrata a distanza fissa secondo una formula del tipo n′ = n + k, dove k è la chiave. Così, se k = 2 è la chiave, un messaggio quale «ciao», facendo riferimento all’alfabeto romano, è cifrato come «elcq». Un simile procedimento crittografico può essere reso un po’ meno semplice passando dalla precedente traslazione a un’affinità del tipo n′ = hn + k, ma rimane nella sostanza lo stesso (si tratta di una sostituzione monoalfabetica per addizione). Il principio di sostituzione comporta la trasformazione di ogni lettera del messaggio sempre nello stesso simbolo, ma questa sostituzione monoalfabetica si presta troppo facilmente a essere violata dall’osservazione delle frequenze statistiche. Si ricorre allora alle sostituzioni polialfabetiche in cui si usano lettere diverse per cifrare una stessa lettera in chiaro dell’alfabeto. Non c’è più una corrispondenza biunivoca, ma solo univoca tra testo cifrato e testo in chiaro. Entrano in gioco i cifrari dinamici – all’inizio naturalmente solo meccanici; quando diventeranno elettrici, saranno i dischi rotanti o rotori di Enigma – e ogni lettera del testo in chiaro viene cifrata in maniera diversa, che però può essere ricostruita dal decriptatore.

Nella sua versione iniziale, Enigma era una macchina polialfabetica con un periodo di 17576, cioè con 17576 possibili diversi alfabeti. Si presentava come una normale macchina da scrivere, di dimensioni abbastanza contenute ma con un peso vicino ai 12 kg. Aveva due tastiere: su quella inferiore si componeva il testo in chiaro, quella superiore si illuminava facendo alla fine apparire il testo cifrato. Vigeva anche un principio di reciprocità di codifica: per maggior comodità ed evidente economia, Enigma possedeva un riflettore grazie al quale la stessa chiave e le stesse operazioni venivano utilizzate anche per decriptare e allora sulla prima tastiera si batteva il testo cifrato e su quella luminosa compariva il testo in chiaro. Il funzionamento di Enigma, nella sua versione standard, era basato su tre rotori. Ognuno di questi aveva due lati (il primo rotore per entrare in contatto con la tastiera inferiore e il secondo rotore; il secondo per entrare in contatto con il primo e il terzo rotore ecc.) e 26 contatti, uno per ogni lettera dell’alfabeto, su ciascun lato. Ciascuno dei tre rotori realizzava una cifratura dell’alfabeto. Il periodo di 17576 si ottiene facilmente dal numero delle disposizioni con ripetizione di 26 oggetti di classe 3: infatti, 17576 = 26³. In realtà, per dare alla macchina una maggiore complessità e garantire ulteriore sicurezza, ogni giorno i tre rotori venivano combinati e collegati in maniera diversa, cambiando anche quotidianamente l’assetto iniziale. Le informazioni necessarie per seguire tutte queste modifiche erano contenute in un cifrario-calendario in possesso di ogni unità militare dotata di una macchina Enigma.

La spy story imperniata sulla macchina tedesca cominciò ben prima della seconda guerra mondiale. Nel novembre del 1931 un impiegato tedesco, Hans Thilo Schmidt aveva fornito allo spionaggio francese il manuale con cui si poteva cercare di ricostruire Enigma. Scoperto dalla Gestapo nel marzo 1943, Schmidt si suicidò avvelenandosi con il cianuro, ma nel frattempo l’intelligence francese aveva deciso che il meccanismo era troppo complesso rispetto ai vantaggi che ne sarebbero potuti derivare e non terminò neppure la realizzazione di un prototipo della macchina. La Polonia sapeva invece che, se la guerra fosse scoppiata, sarebbe stata la prima a essere attaccata e chiese ai francesi tutto il materiale che era stato riprodotto e che poteva essere utile per la realizzazione del prototipo e la decrittazione delle comunicazioni militari tedesche. L’interesse e lo sforzo dei polacchi furono così ben maggiori. Misero ben presto al lavoro una équipe di ricercatori dell’università di Poznań, che, grazie soprattutto al contributo del matematico e crittologo polacco Marian Rejewski, riuscì a forzare il sistema tedesco e a ricostruire una copia di Enigma sfruttando la consuetudine che l’informazione essenziale sull’assetto previsto dal cifrario-calendario veniva sempre ripetuta due volte e questo permetteva di scoprire nuove regolarità nei testi cifrati; inoltre mai una lettera veniva codificata dal sistema in sé stessa. Gli anni Trenta videro una continua sfida tra gli analisti polacchi e i servizi segreti tedeschi, che progressivamente rendevano il funzionamento di Enigma più complesso e difficile da violare. Alla vigilia dell’invasione della Polonia, in un incontro tenutosi a Varsavia nel luglio del ’39 tra le delegazioni francese, inglese e polacca, quest’ultima dovette ammettere che non riusciva più a sostenere l’incremento di complessità ottenuto dai tedeschi con l’introduzione di 5 rotori – ne usavano sempre e solo 3, ma diversi ogni giorno – e il progetto di decrittazione di Enigma fu trasferito agli inglesi.

E a questo punto che si inserisce nella storia Bletchley Park, una cittadina vicino a Londra e a metà strada tra Oxford e Cambridge, dove sempre nel 1939 gli inglesi avevano trasferito la sede del loro servizio di decrittazione e dove da allora impiegarono ingenti risorse umane con punte di assoluto valore scientifico. Per gli inglesi gli esordi furono particolarmente fortunati: grazie ai progetti di nuove forme di bombe (le macchine per decrittare Enigma), l’intercettazione sempre più rapida delle comunicazioni nemiche nel 1940 e la cattura nella primavera del 1941 di alcune unità navali e sottomarine tedesche permisero di recuperare intatto tutto il materiale crittografico. Bletchley Park riusciva a leggere i messaggi di Enigma entro 24 ore dalla loro trasmissione e aveva così il controllo della tattica nemica giorno per giorno. Inizialmente i tedeschi esclusero la possibilità che gli inglesi potessero aver fatto saltare il loro inviolabile Enigma e puntarono piuttosto il dito su qualche crepa nel loro sistema di controspionaggio. Poi, all’inizio del 1942 – c’era già stato l’attacco giapponese a Pearl Harbor, gli usa erano entrati in guerra e il centro delle operazioni navali si era trasferito sull’Atlantico – provvidero effettivamente a introdurre un nuovo sistema di codificazione su Enigma. Gli analisti di Bletchley Park dovettero ricominciare tutto da capo e soprattutto lavorare in fretta. L’esercito americano si preparava all’intervento in Europa e tutto l’aiuto statunitense di uomini e materiale bellico sarebbe stato inutile se la flotta dei sommergibili tedeschi avesse continuato indisturbata a operare nell’Atlantico con la sua micidiale presenza. Il blackout durò più di dieci mesi e l’autunno del 1942 si dimostrò il periodo peggiore per i trasporti marittimi alleati. Poi alcuni errori dei tedeschi, la cattura di loro materiate crittografico e la nuova collaborazione con gli analisti statunitensi portarono a un ribaltamento della situazione. Di nuovo, Bletchley Park ce l’aveva fatta! Nel dicembre del 1942, gli inglesi avevano ormai un’idea precisa della posizione di tutti gli 84 sommergibili tedeschi che ostacolavano l’effettiva partecipazione degli americani alla guerra nel teatro europeo. La battaglia dell’Atlantico era stata vinta! Si può sostenere che il lavoro dei criptoanalisti inglesi sia stato il fattore decisivo della vittoria alleata; sicuramente abbreviò in modo significativo la durata della guerra. A dare il maggiore contributo alla costruzione delle bombe inglesi fu un matematico, Alan Turing, che giunse a Bletchley Park il 4 settembre 1939 e fu subito messo a capo della baracca 8, dove lavorava il gruppo destinato a decrittare i segnali dell’Enigma della marina. Nei mesi di collaborazione tra il ’42 e il ’43, gli americani lo definirono il numero uno dei cripto-analisti inglesi.