equazione alle differenze

equazione alle differenze

equazione alle differenze o equazione alle differenze finite, equazione della forma

in cui l’incognita è una successione {y_n}. Soluzione dell’equazione alle differenze è ogni successione tale che tutti i suoi elementi verificano l’equazione stessa. Un’equazione alle differenze appare la variante discreta di un’equazione differenziale. Tale equazione è detta di ordine r se effettivamente in essa compaiono entrambi i valori di y_n+_r e y_n, giacché ordine di un’equazione alle differenze è la differenza tra l’indice più alto e l’indice più basso degli elementi che vi figurano.

Nel caso di un’equazione alle differenze nella forma normale y_n+_r = ƒ(y_n+_r, y_n+_r−1, ..., y_n, n) la conoscenza degli r valori iniziali y0, y1, ..., y_n+_r−1 permette per ricorrenza la conoscenza dell’intera successione, purché la funzione ƒ risulti sempre calcolabile per i successivi valori degli argomenti. Nel caso di un’equazione alle differenze lineare, cioè della forma a_r(n)y_n+_r + a_r−1(n)y_n+_r−1 + ... + a₀(n)y_n = b(n), vale il principio di sovrapposizione (→ equazione differenziale), per cui la soluzione generale si ottiene sommando alla soluzione generale dell’equazione omogenea associata, calcolata ponendo b(n) = 0, una soluzione particolare dell’equazione completa, che nei casi più comuni può essere trovata con un particolare metodo detto metodo dei coefficienti indeterminati. Tale metodo rappresenta un tentativo mirato, in cui si cerca una soluzione in una forma che si ritiene corretta (per esempio, un polinomio) nella quale sono incogniti solo alcuni coefficienti che si determinano imponendo che la soluzione soddisfi l’equazione. La soluzione generale dell’equazione omogenea ha poi la forma

dove u_k,_n sono r soluzioni indipendenti dell’equazione stessa e c_k sono costanti arbitrarie. La verifica dell’indipendenza si può eseguire controllando che il loro determinante di → Casorati sia diverso da 0. La determinazione delle soluzioni u_k,_n è possibile nel caso delle equazioni a coefficienti costanti, nelle quali cioè gli a_k non dipendono da n. Scritto infatti il polinomio caratteristico

l’equazione assume la forma simbolica P(E)y_n = 0, dove E è l’operatore di traslazione Ey_n = y_n+1. L’equazione ottenuta uguagliando a 0 il polinomio caratteristico P(γ) = 0 è detta equazione caratteristica dell’equazione omogenea; a ogni sua soluzione λ_j corrisponde la soluzione

Se la radice λ_j ha molteplicità m, anche

sono soluzioni. Nel caso di radici complesse coniugate, le si scrive nella forma trigonometrica λ = ρ (cosθ ± isinθ) ottenendo le soluzioni ρⁿcos(nθ) e ρⁿsin(nθ); se le radici sono multiple, le si moltiplica per gli stessi fattori n^k del caso reale. Per esempio, l’equazione

ammette la soluzione generale

L’equazione y_n+2 − 2y_n+1 + 4y_n = 0 dà

Nel caso di sistemi di equazioni lineari di primo ordine a coefficienti costanti di tipo normale, della forma

dove i coefficienti a_ij e le p successioni {b1_n}, ..., {b_pn} sono assegnati, mentre le p successioni {y1_n}, ..., {y_pn} sono incognite (caso al quale possono essere ricondotti, mediante opportune sostituzioni, sistemi di ordine qualsiasi), sono gli autovalori e gli autovettori della matrice dei coefficienti a determinare completamente la natura e le proprietà delle soluzioni.