calore, equazione del

calore, equazione del

calore, equazione del prototipo delle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo parabolico. Si scrive nella forma

dove l’incognita u = u(x, t) rappresenta la temperatura di un solido omogeneo, funzione delle coordinate spaziali e del tempo t, e σ = λ/cρ è un coefficiente che ingloba il coefficiente di conducibilità termica λ, il calore specifico c e la densità ρ del materiale. L’equazione descrive il modo in cui si distribuisce il calore (cioè come varia la temperatura) nel tempo in una certa regione omogenea dello spazio. La soluzione del problema di → Cauchy con dato iniziale u(x, 0) = ƒ(x) è fornita dall’integrale

con x ∈ Rⁿ, da cui si vede che anche se ƒ è diversa da zero in un insieme limitato, la soluzione u risulta ovunque diversa da zero. Ciò si interpreta dicendo che la velocità di conduzione del calore è infinita, anche se la decrescenza del nucleo esponenziale della soluzione è tale da rendere irrisorio il contributo nel punto x da parte del dato in un punto y anche non troppo lontano da x. Un’altra proprietà che si deduce è che anche se φ non è regolare (basta che sia integrabile), u risulta di classe C^∞(Rⁿ⁺¹), ∀t > 0, e ciò evidenzia che l’equazione del calore è regolarizzante. Infine, il problema di Cauchy per l’equazione retrograda ∂u/∂t = −σΔu non risulta ben posto: in ciò si esprime l’irreversibilità della diffusione termica.

Nel caso di un corpo Ω limitato, al problema di Cauchy si deve aggiungere una opportuna condizione al contorno che può essere un problema di → Dirichlet, che impone sulla frontiera ∂Ω di Ω il valore della temperatura, un problema di → Neumann, che impone il flusso termico, o un problema più generale, corrispondente alla situazione più realistica in cui si impone che il flusso ∂u/∂n sia proporzionale alla temperatura u (di fatto, al salto di temperatura tra il corpo e un fluido refrigerante).

Il principio del massimo per l’equazione del calore afferma che il massimo e il minimo di u nel dominio cilindrico K = Ω × [0, T] vengono raggiunti in un punto della cosiddetta frontiera parabolica, formata dall’unione della base Ω × {0} e dalla superficie laterale ∂Ω × [0, T]. In termini fisici, ciò discende dal secondo principio della termodinamica. Nel caso di materiale non omogeneo e/o non isotropo, l’equazione si generalizza nella

dove A è una matrice simmetrica definita positiva che rappresenta la conducibilità termica.