Bellman, equazione di
Bellman, equazione di
Equazione, formulata dal matematico statunitense R.E. Bellman nel 1957, che esprime il valore della soluzione ottimale di un problema di ottimizzazione matematica traducibile in termini di programmazione dinamica, ovvero scomponibile in una sequenza di sottoproblemi concatenati. È naturale pensare che il dinamismo sia indotto dal trascorrere del tempo, e in molte delle applicazioni questa è anche la situazione reale. Tipiche applicazioni riguardano, per es., la definizione delle politiche di investimento intertemporale, il controllo delle scorte, la turnazione del personale, la gestione dei servizi di un aeroporto.
L’equazione di B. sfrutta il cosiddetto principio di ottimalità. Secondo un efficace riassunto, tale principio dice semplicemente che, se si considera la strada più corta per andare da Roma a Parigi e questa passa da Milano, il tratto Milano-Parigi di questo percorso ottimale è il più corto fra tutti quelli che vanno da Milano a Parigi. La versione formalizzata dell’equazione è la seguente:
V
(x0)=maxa0 {F(x0, a0)+βV(x1)}
soggetta al vincolo: a0 in Ψ(x0), x1=T(x0, a0) in cui a0 è il valore della variabile decisionale all’epoca 0, appartenente all’insieme Ψ(x0) delle alternative ammissibili nello stato iniziale x0 del sistema; xh, h=1,..., n è lo stato del sistema all’epoca h, in generale funzione T(xh−1, ah−1) dello stato del sistema e della decisione presa all’epoca precedente h−1; β è un opportuno fattore di attualizzazione uniperiodale, F è il valore della funzione obbiettivo nel singolo stadio e V è la funzione valore, ovvero il valore della decisione ottima.