Bessel, equazione di

Bessel, equazione di

Bessel, equazione di in analisi, equazione differenziale lineare della forma x ²y″ + xy′ + (x ² − ν²)y = 0, con ν, detta ordine dell’equazione e delle sue soluzioni, generalmente complessa. Il caso in cui essa è reale e non negativa è tuttavia quello più significativo nello studio delle onde. Le sue soluzioni sono dette funzioni di Bessel, e designate con il simbolo J_±ν(x) (funzioni di Bessel di prima specie), sicché l’integrale generale della equazione di Bessel ha la forma c₁J_ν(x) + c₂J_−ν(x). Se ν = n ∈ N, la funzione J_−n(x) si riduce a (−1)ⁿJ_n(x), e deve essere sostituita con la funzione (di seconda specie) Y_n(x), che ha nell’origine una singolarità logaritmica anziché di ordine x^±ν. Queste funzioni hanno andamento oscillante e ammettono infiniti zeri; all’infinito si comportano come sinusoidi smorzate. Le funzioni di ordine semintero sono elementari; per esempio

Se la variabile x è sostituita dalla variabile immaginaria ix, si hanno le corrispondenti funzioni di Bessel modificate, I_ν(x) = J_ν(ix) e K_n(x) = Y_n(ix).

L’equazione di Bessel si incontra nello studio di equazioni differenziali alle derivate parziali in coordinate polari o sferiche. Per gli sviluppi in serie e altre proprietà si veda la tavola delle funzioni speciali.