equazione funzionale

equazione funzionale

equazione funzionale equazione in cui le incognite sono una o più funzioni. L’uguaglianza deve essere identicamente soddisfatta in un dominio assegnato, e la soluzione viene cercata in una opportuna classe funzionale. A differenza del caso delle equazioni differenziali, non c’è a priori una classe funzionale privilegiata in cui ambientare la soluzione, anche se la richiesta che essa sia continua è spesso naturale. Questo ha un grande impatto sulla esistenza e unicità delle soluzioni. Per esempio, sono equazioni funzionali le seguenti equazioni:

• equazione di Cauchy: φ(x + y) = φ(x) + φ(y), le cui soluzioni continue sono le funzioni lineari φ(x) = cx, ma che senza la restrizione della continuità ammette infinite altre soluzioni, ottenute mediante le cosiddette basi di → Hamel;

• φ(x + y) = φ(x)φ(y), φ(xy) = φ(x) + φ(y), e φ(xy) = φ(x)φ(y), che con le trasformazioni Inφ(x) = γ(x), lnγ(x) = φ(x) e x = e^u, y = e^vφ(t) = γ(lnt) si trasformano rispettivamente nella precedente nell’incognita γ, e che pertanto sono a volte chiamate anch’esse equazioni di Cauchy. Esse ammettono come soluzioni continue rispettivamente gli esponenziali φ(x) = a^x, i logaritmi φ(x) = cln|x|, e le potenze φ(x) = |x|^c, φ(x) = |x|^c sgn(x), oltre a φ = 0;

• equazione di d’Alembert: φ(x + y) + φ(x − y) = 2 φ(x)φ(y), soddisfatta da φ(x) = coscx, φ(x) = coshcx e φ ≡ 0;

• equazione di Lobačevskij:

la cui soluzione generale è φ(x) = ae^{x /k};

• equazione di traslazione: φ[φ(x, u), v] = φ(x, u + v). La sua soluzione generale, sempre sotto l’ipotesi di continuità, è φ(x, u) = g⁻¹[g(x) + u], dove g è un’arbitraria funzione continua strettamente crescente;

• equazione di Schröder : φ[ƒ(x)] = sφ(x), 0 < s < 1, cui si possono ricondurre l’equazione di Abel φ[ƒ(x)] = φ(x) + 1, l’equazione di Böttcher φ[ƒ(x)] = [φ(x)]^m e l’equazione di Poincaré φ(sx) = [φ(x)]. Nell’ipotesi che ƒ soddisfi la condizione ƒ(x) = sx + O(|x|1+δ) per x → 0, δ > 0, l’equazione di Schröder ammette la soluzione

dove ƒ ⁿ è l’iterata n-esima di ƒ, definita ricorsivamente da ƒ ¹(x) = ƒ(x), ƒ ⁿ⁺¹(x) = ƒ(ƒ ⁿ(x));

• φ(2x) = φ(x + 1): l’unica soluzione continua su tutto R è la soluzione costante.

Non esiste un metodo standard di soluzione per le equazioni funzionali. Un’equazione funzionale si dice di rango k se in essa compaiono k variabili indipendenti.