equazione KdV

equazione KdV

In unità adimensionali, è l’equazione:

[1]

dove le variabili sottoscritte (qui e nel seguito) indicano derivazioni parziali, per es.

[2]

Si tratta dunque di un’equazione di evoluzione alle derivate parziali non lineare. Alla fine degli anni Sessanta è stato dimostrato (da Clifford S. Gardner, John M. Greene, Martin D. Kruskal e Robert M. Miura) che questa equazione è ‘integrabile’; questa scoperta ha aperto un vasto campo di ricerca, che ha portato all’identificazione di molte altre equazioni e classi di equazioni integrabili, di varie tecniche per la loro soluzione, allo studio della fenomenologia ‘solitonica’ associata a tali equazioni nonché ad applicazioni di questi sviluppi matematici in fisica e in altre discipline. L’equazione KdV era stata introdotta alla fine del XIX sec. da Diederik J. Korteweg e Gustav de Vries per descrivere il comportamento della superficie dell’acqua in un canale poco profondo (la corrispondenza con la [2] richiede, oltre all’introduzione di opportune unità di misura, la scelta di un opportuno sistema di riferimento in moto uniforme). Le approssimazioni compiute per arrivare a questa equazione partendo dalle equazioni dell’idrodinamica avevano – come è stato successivamente riconosciuto – un carattere strutturale legato all’approccio multiscala, sicché l’equazione KdV ha un carattere di universalità che la fa apparire come appropriata equazione approssimata nel contesto di molti altri modelli matematici di fenomeni naturali, il che spiega la sua rilevanza in numerosi contesti applicativi. Ciò è in qualche senso anche connesso alla sua stessa proprietà di integrabilità, che si manifesta in vari modi. Per esempio alla [1] – valida sull’intero asse reale −∞〈x〈+∞, con la condizione che la variabile dipendente si annulli (abbastanza rapidamente) asintoticamente: u(±∞,t)=0 – è associato un numero infinito di costanti del moto,

[3]

n=0,1,2,... dove l’operatore integro-differenziale L, dipendente dalla funzione u(x,t), agisce nel modo seguente su una generica funzione f(x,t) (che si annulli rapidamente per x→∞):

[4]

Inoltre la KdV è la più semplice equazione (corrispondendo ad α(z)=−z) della classe di

[5]

dove α(z) è un arbitrario polinomio nella variabile z e L è l’operatore integro-differenziale [4]. Particolarmente rilevante è la possibilità di risolvere il problema ai valori iniziali per la KdV, nonché per l’intera classe [5] – calcolare cioè la u(x,t) data la u(x,0), nell’ambito della classe di funzioni che si annulli abbastanza rapidamente per x→±∞ – mediante il metodo della trasformata spettrale, che comporta solo operazioni algebriche e la soluzione di un’equazione integrale lineare (l’equazione di Gelfand-Levitan-Marchenko). In tal modo si identifica fra l’altro la soluzione della [5] rappresentante un solitone

[6]

caratterizzata dai due parametri p e x₀. Questa soluzione rappresenta evidentemente un oggetto che si muove con velocità −α(4p²), la cui forma, localizzata intorno al punto x₀−α(4p²)t, dipende solo dal parametro p, che ne determina sia l’ampiezza che la larghezza. È anche possibile determinare con tecniche puramente algebriche soluzioni multisolitoniche. Di grande interesse è anche lo studio della KdV – nonché di tutte le equazioni della classe [5] – nello spazio funzionale delle funzioni periodiche nella variabile spaziale x, connesso ad importanti sviluppi in geometria algebrica e differenziale. Importanti progressi sono stati inoltre compiuti nello studio del problema generale – ai valori iniziali e al contorno – della KdV su un intervallo finito o sulla semiretta, che peraltro non appare generalmente riducibile a sole operazioni di carattere algebrico e alla risoluzione di sole equazioni integro-differenziali lineari.

→ Solitoni