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equivalenza categorica

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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equivalenza categorica

Luca Tomassini

Una categoria C è composta da: (a) una classe ObC (non necessariamente un insieme, dunque) di oggetti, per esempio enti matematici (gruppi o loro rappresentazioni, spazi vettoriali o topologici, varietà ecc.); (b) una classe MorC di morfismi o frecce, applicazioni da un oggetto a un altro (per es., rispettivamente omomorfismi o operatori di allacciamento tra rappresentazioni, applicazioni lineari o continue, applicazioni regolari ecc.). A un morfismo α sono per ipotesi associati un oggetto di partenza d0(῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝α) (dominio) e uno di arrivo d1(α) (codominio), mentre per ogni oggetto A si suppone assegnato un morfismo identità idΑ:A→A. La classe di morfismi da un oggetto A a un oggetto B in una categoria C si indica con HomC(A,B). Dati due morfismi α e β in HomC(A,B) e HomC(B,C) rispettivamente, esiste un morfismo β o α in HomC(A,C) detto composizione; per ogni α di A verso A′ si ha idΑ′°α=α e α°idΑ′=α. Un funtore F:C→D consiste di due applicazioni: una assegna a ogni oggetto A di ObC un oggetto F(A) di ObD, l’altra a ogni morfismo α di HomC(A,B) un morfismo F(α) di HomD(F(A),F(B)). Si assume che la struttura categorica sia conservata, ovvero F(idΑ)=idΦ(Α) e F(αβ)=F(α)F(β) se la composizione è definita. In particolare, in una categoria C è sempre definito il funtore identità idC:C→C che trasforma ogni oggetto e morfismo in sé stesso. L’omologia e l’omotopia forniscono esempi di funtori (denotati Hν e πν) dalla categoria degli spazi topologici verso la categoria dei gruppi abeliani. Esiste anche un terzo livello di struttura: se F e G sono funtori dalla categoria C alla categoria D, una trasformazione naturale η:F→G è un’applicazione che assegna a ogni oggetto A di C un morfismo ηΑ:F(A)→G(A) in D tale che per ogni α:A→B in C è verificata l’uguaglianza G(α)°ηΑ=ηΒ°F(α). Se ηΑ è un isomorfismo per ogni oggetto A di C, η è detta isomorfismo naturale. Si definisce allora equivalenza tra due categorie C e D un funtore F:C→D tale che esistano un funtore ‘inverso’ G:D→C e due isomorfismi naturali η1:F°G→idD e η2:G°F→idC. Il funtore G non è dunque inverso del funtore F nell’usuale accezione algebrica (la loro composizione è la mappa identica) ma in un senso più generale, per così dire a meno di isomorfismo.

→ Invarianti, teoria degli

Vedi anche
funtore In matematica, trasformazione di una categoria C in un’altra categoria D, definita da una coppia di ‘funzioni’, ϕ e ψ, tali che: a) se A, B, ... indicano ‘oggetti’ di C, ϕ(A), ϕ(B) ... sono ‘oggetti’ ben determinati di D; b) se g, h, ... sono ‘morfismi’ di C, ϕ (g), ϕ (h), ... sono ‘morfismi’ di D; c) ... morfismo Ente matematico associato alle coppie di ‘oggetti’ di una data categoria. Si tratta di una nozione astratta e di grande generalità, che comprende come casi particolari molte nozioni classiche, come quelle di applicazione tra due insiemi, di omomorfismo tra due insiemi algebrici, di rappresentazione continua ... isomorfismo In matematica, corrispondenza biunivoca tra due insiemi dotati di ‘strutture’, la quale conservi le strutture stesse. Le strutture sono di tre tipi: d’ordine, algebriche e topologiche, e si hanno perciò tre diversi tipi di isomorfismi. isomorfismo tra insiemi dotati di strutture d’ordine (isomorfismo ... omotopia In matematica, la corrispondenza generata tra due catene di un complesso, e più in generale tra due applicazioni, quando la prima può deformarsi con continuità nella seconda. ● La teoria dell’omotopia costituisce uno dei capitoli della topologia algebrica più importanti e ricchi di applicazioni. La ...
Categorie
  • ALGEBRA in Matematica
Vocabolario
equivalènza
equivalenza equivalènza s. f. [der. di equivalere]. – 1. L’equivalere, l’essere equivalente; uguaglianza di valori, in genere tra cose di natura o qualità diversa: e. di due locuzioni, di due grandezze. 2. In fisica, principî di e., quelli...
equivalènte
equivalente equivalènte agg. e s. m. [part. pres. di equivalere]. – 1. agg. Che equivale, che ha valore uguale: un titolo e.; termini, locuzioni equivalenti. Con accezioni partic.: a. In matematica (dove si indica di solito con il simbolo...
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