ergodicità

ergodicita

ergodicità  Proprietà statistica di un processo aleatorio, che indica una certa regolarità in media del processo stesso. Per definire il concetto di e. è necessario definire prima il concetto di media temporale. Si procede a definirlo per un processo a tempo discreto indicizzato nell’insieme T={0,1,2,...,k,...}, anche se il concetto si adatta facilmente al caso di un processo a tempo continuo. Dato un tempo t∈T, si chiama media temporale del processo al tempo t la variabile aleatoria data dalla media aritmetica delle prime t+1 variabili che compongono il processo: μ^{^} (t)=Σ^t_k=0X(k)/(t+1).

Un processo aleatorio è detto ergodico se la variabile μ^{^} (t) converge in probabilità, per t che tende a infinito, allo stesso limite della media della variabile aleatoria t-esima del processo. In formule, se μ(t)=E(X(t)) è la media all’istante t-esimo, X è ergodico se vale il limite in probabilità lim_t→∞μ^{^}(t)−μ(t))=0 (➔ asintotica, distribuzione; ➔ grandi numeri, legge dei). In particolare, se X è un processo stazionario in media (➔ stazionarietà statistica), allora μ(t)=μ e l’e. si semplifica in plim_t→∞μ^{^} (t)=μ, dove il termine plim indica l’operazione di limite in probabilità. Sostanzialmente l’importanza dell’e. di un processo risiede nel fatto che tale proprietà è analoga alla proprietà della consistenza degli stimatori. Di conseguenza, l’e. consente di stimare la media di una serie storica stazionaria tramite la media delle sue realizzazioni. A titolo di esempio si consideri il processo definito come segue. Si lancia una moneta ripetutamente; se esce testa il risultato dell’esperimento è 0, altrimenti è 1. Quindi X(t) rappresenta l’esito del t-esimo lancio e ciascuna X(t) è identicamente distribuita e indipendente dalle altre. In particolare, X(t) è uguale a 0 o a 1 con probabilità 1/2. Ne segue che il processo è stazionario in media, poiché tutte le X(t) hanno la stessa distribuzione e quindi la stessa media pari a μ(t)=μ=1/2. La media temporale t-esima, invece, è una variabile aleatoria data dalla somma di t variabili di Bernoulli (➔ Bernoulli, distribuzione di), diviso per t. È noto dal calcolo delle probabilità che la somma di t variabili bernoulliane di parametro 1/2 ha una distribuzione binomiale con parametri (1/2,t) Ossia tμ^{^} (t) è una variabile binomiale, la cui media è pari a t/2 (➔ distribuzione di probabilità). Dividendo per t, si ottiene che E(tμ^{^} (t))=1/2=μ. Applicando la legge dei grandi numeri, si ottiene quindi che μ^{^} (t) ha limite in probabilità pari a μ. Quindi il processo così definito è ergodico.