operazione, errore in una
operazione, errore in una
operazione, errore in una valutazione dell’attendibilità del risultato di un’operazione, nel caso in cui si operi con numeri approssimati, e quindi contenenti un errore, oppure si utilizzi uno strumento di calcolo che non possa contenere tutte le cifre del risultato dell’operazione tra due numeri esatti. In quest’ultimo caso il risultato ottenuto sarà un valore approssimato, per arrotondamento o per troncamento del risultato esatto e il problema si riduce a quello della valutazione dell’errore nell’approssimazione di un numero. Se si opera con numeri approssimati, l’errore del risultato risulta influenzato dai rispettivi errori dei due operandi e dall’operazione eseguita che aggiunge a tali errori anche un errore globale: questo fenomeno di propagazione dell’errore è diverso a seconda dell’operazione eseguita. La propagazione dell’errore dovuta all’→ aritmetica finita di una macchina che esegue un calcolo riveste un ruolo fondamentale nell’accettabilità dei risultati ottenuti con l’esecuzione di un particolare algoritmo di calcolo. Se a ∘ b è un’operazione binaria tra i numeri reali a e b, i quali approssimano rispettivamente i valori esatti x e y con errori assoluti e(a) = |x − a|, e(b) = |y − b|, si definisce errore nell’operazione ∘ il valore
Questo valore è funzione dei due operandi e la sua espressione non gode della proprietà di linearità, essendo generalmente e(k1a ∘ k2b) ≠ k1e(a) ∘ k2e(b), con k1 e k2 numeri reali.
Per un numero approssimato a, si definisce l’errore assoluto limite ε(a) come una stima superiore dell’errore assoluto, cioè un qualsiasi numero superiore o uguale all’errore assoluto di a. Quindi ε(a) ≥ e(a) = |x − a|, da cui: a − ε(a) ≤ x ≤ a + ε(a). Analogamente alla definizione di errori limite ε(a) e ε(b) per i due numeri approssimati a e b, è possibile definire l’errore limite del risultato della loro operazione a ∘ b, indicato con ε(a ∘ b) come un valore tale che: |(x ∘ y) − (a ∘ b)| ≤ ε(a ∘ b).
Per le operazioni, si ricavano alcune proprietà utili a valutare l’attendibilità dei risultati ottenuti.
• L’errore assoluto di una somma algebrica di numeri approssimati e(a + b) non supera la somma degli errori assoluti dei due addendi:
Si può, quindi, prendere come errore assoluto limite della somma algebrica la somma degli errori assoluti limite degli addendi. Si ha allora che l’errore assoluto limite di una somma algebrica non può essere inferiore all’errore assoluto limite dell’addendo meno preciso, cioè il risultato non può essere conosciuto con un errore inferiore a quello dell’operando meno preciso. Come regola pratica per addizionare (o sottrarre) più numeri approssimati con un numero diverso di cifre significative esatte si eseguono queste istruzioni:
a) si conservano inalterati i numeri con minor numero di cifre decimali;
b) si arrotondano gli altri, lasciando una cifra decimale in più;
c) si addizionano (o sottraggono) i numeri così ottenuti e si arrotonda di una cifra il risultato. Per esempio, per eseguire 2,2 − 1,768, dapprima si arrotonda 1,768 a 1,77 e l’operazione (approssimata) diventa 2,2 − 1,77 = 0,43; questo risultato viene arrotondato di un’ulteriore cifra e diviene 0,4 con errore assoluto limite 0,1.
• L’errore relativo di un prodotto o di un quoziente di numeri approssimati (diversi da zero) non supera la somma degli errori relativi dei numeri stessi:
Anche in questo caso esiste una regola pratica per trovare il prodotto (o il quoziente) di due numeri approssimati con un numero diverso di cifre significative esatte:
a) si arrotondano i numeri in modo che ciascuno abbia una cifra decimale in più del numero meno preciso;
b) si moltiplica (o si divide) e si mantengono nel risultato tante cifre esatte quante sono quelle del termine meno preciso (o al massimo una in più). Per esempio, per eseguire il prodotto 0,0642 ⋅ 4,8 si arrotonda il primo fattore con 0,06 per cui l’operazione diventa 0,06 ⋅ 4,8 = 0,288; questo a sua volta si approssima con 0,29 (→ errore; → metodo numerico; → algoritmo, stabilità di un).