Euclide

Euclide

Euclide (secc. iv - iii a.C.) matematico greco, autore degli Elementi, la più importante opera scientifica dell’antichità, che costituì per quasi due millenni la base del pensiero matematico e il paradigma del ragionamento rigoroso e della conoscenza scientifica. Il poco che si sa della sua vita è dovuto a Proclo, neoplatonico vissuto nel v secolo d.C., il quale scrive che Euclide era più giovane dei discepoli di Platone e più vecchio di Archimede. Fu attivo ad Alessandria al tempo di Tolomeo i (304-283 a.C.), dove si suppone tenesse lezioni di matematica. Proclo stesso riferisce che il re Tolomeo chiese a Euclide se non ci fosse un mezzo più breve degli Elementi per imparare la geometria ed Euclide rispose che «non esistono vie regie in geometria». Oltre che degli Elementi, fu autore di numerose opere, di cui sono arrivate fino a noi Dedomena (cioè Dati, sui vari modi in cui possono essere date le figure), La divisione delle figure, Fenomeni (che contengono una descrizione geometrica della sfera celeste) e l’Ottica (in cui la geometria viene rigorosamente applicata allo studio dei fenomeni luminosi). Negli Elementi (Stoicheía), in 13 libri cui se ne aggiunsero altri due scritti da geometri successivi, gli argomenti di geometria, aritmetica e algebra trattati sono diversamente distribuiti. Nei primi quattro libri è sviluppata la geometria piana, senza le proprietà delle proporzioni: Euclide inizia con le proprietà elementari delle linee e degli angoli e prosegue con l’uguaglianza (nel senso di equiestensione) dei triangoli e dei poligoni, il teorema di Pitagora, la costruzione di un quadrato uguale a un rettangolo assegnato. Termina, poi, con la sezione aurea, il cerchio e i poligoni regolari. La teoria delle proporzioni di Eudosso di Cnido costituisce l’argomento di tutto il libro quinto. Nel libro sesto la teoria delle proporzioni è applicata alla similitudine delle figure piane. Nei libri settimo, ottavo e nono si passa dalla geometria all’aritmetica. Servendosi dei rapporti di grandezze, Euclide affronta argomenti che riguardano i numeri interi: la divisibilità, i numeri primi e anche la somma delle serie geometriche. Il libro decimo, che è il più lungo e il più complesso, contiene una classificazione degli irrazionali quadratici, cioè dei numeri del tipo

e delle loro radici quadrate

Negli ultimi tre libri Euclide tratta la geometria solida fino alla sfera e ai cinque poliedri regolari (→ solido platonico).

Gli Elementi non contengono risultati nuovi di grande rilievo: vi sono infatti raccolte ed esposte le conoscenze matematiche (in particolare geometriche) del tempo, dovute in gran parte ad autori precedenti, quali Eudosso e Teeteto; la loro rilevanza è tuttavia massima perché vi è applicato un metodo che sarebbe rimasto per due millenni un modello insuperato di rigore e chiarezza. Con quest’opera, che senza dubbio è il testo scientifico più diffuso e tradotto di tutti i tempi, Euclide instaurò una scienza – la geometria che si suole chiamare, appunto, euclidea – là dove esistevano soltanto ricerche, teoremi, intuizioni frammentarie. La struttura logica degli Elementi rappresenta il primo modello di teoria ipotetico-deduttiva; l’intera opera si presenta come un insieme di proposizioni vere (i teoremi) dedotte, con un procedimento puramente logico, da altre proposizioni (i principi). I principi si trovano quasi tutti nel libro primo e sono divisi in tre categorie: le definizioni (ossia, i termini, che sono in tutto 23), i postulati (cioè, le richieste, che sono 5) e le nozioni comuni (ossia, gli assiomi); essi sono indimostrabili e accettati in base all’evidenza e all’intuizione. Nelle edizioni precritiche degli Elementi, dopo i postulati, erano riportate 9 nozioni comuni; la critica moderna ha ridotto il loro numero a 5, ritenendo le altre non autentiche ma delle apocrife interpolazioni. A partire da questa base assiomatica, vengono costruite le dimostrazioni secondo un impianto univoco di deduttività: fra le altre, Euclide utilizza la dimostrazione per assurdo (forse di derivazione eleatica), quella per esaustione e la dimostrazione grafica, che si fonda sulla costruzione con riga e compasso di figure e testimonia la presenza anche in Euclide di una certa tradizione orientale di matematica pratica, ma anche la caratterizzazione della geometria euclidea come rigorosa geometria della riga e del compasso, nel senso che i postulati da cui egli muove (quali per esempio quelli che permettono il trasporto di un segmento o di un angolo in un’altra posizione del piano) sono espressi sotto forma di effettive costruzioni geometriche con riga e compasso. Dei cinque postulati proposti da Euclide, il quinto, che tratta dell’intersezione tra linee rette e che porta come conseguenza all’unicità della parallela per un punto a una retta data, venne considerato problematico fin dall’antichità perché coinvolge proprietà all’infinito; e proprio dalla secolare discussione sulla validità del quinto postulato euclideo scaturirono nel sec. xix le cosiddette geometrie non euclidee.