BELTRAMI, Eugenio
Nacque a Cremona il 16 nov. 1835. Compiuti gli studi secondari nel ginnasio liceo di Cremona, s'iscrisse nel 1853 alla scuola di matematica dell'università di Pavia, ove ebbe come maestro F. Brioschi. Entrato nello stesso anno nel collegio Ghisleri, ne fu espulso nel febbraio del 1855 sotto l'accusa di aver provocato disordini contro il rettore A. Leonardi. Le ristrettezze economiche lo costrinsero nel novembre 1856 ad entrare nell'amministrazione delle strade ferrate del Lombardo-Veneto, ma ne fu licenziato per motivi politici nel gennaio del 1859; pochi mesi dopo, liberata la Lombardia, il B. ritornò al suo ufficio e si trasferì a Milano ove rimase sino al 1862. A Milano riprese gli studi di matematica e cercò anche d'insegnare nelle scuole secondarie, ma la mancanza della laurea gli fu d'ostacolo. In breve tempo, però, il valore suo si rivelò con due memorie che richiamarono l'attenzione del Brioschi, allora segretario generale del ministero dell'Istruzione. Nell'ottobre 1862 il B. fu nominato professore straordinario di algebra complementare e geometria analitica all'università di Bologna. In seguito fu chiamato a Pisa ove gli fu offerta la cattedra di geodesia.
Il B. voleva rifiutare ma infine accettò e, dopo aver trascorso alcuni mesi a Milano presso l'osservatorio dell'astronomo G. V. Schiapparelli per compiere studi preparatori per la nuova materia d'insegnamento, si recò a Pisa nel febbraio 1864. Qui strinse fraterna amicizia coi matematici E. Betti e B. Riemann che esercitarono grande influenza sul suo indirizzo e sulle sue ricerche. Nel settembre del 1866 ritornò all'università di Bologna per occupare la cattedra di meccanica razionale. Nel 1870, proclamata Roma capitale d'Italia, il ministro dell'Istruzione A. Scialoja, per rialzare le sorti di quell'università, chiamò i più eminenti studiosi a occupare le cattedre vacanti: tra questi era il B., al quale nell'ottobre del 1873 fu attribuita la cattedra di meccanica razionale e l'incarico di analisi superiore. A Roma rimase sino al 1876, anno in cui si trasferì all'università di Pavia per occupare la cattedra di fisica matematica e l'incarico di meccanica superiore. A Pavia strinse fraterna amicizia con F. Casorati ed E. Bertini. Dopo la morte del Casorati preferì ritornare a Roma, dove rimase ininterrottamente dal 1891 sino alla morte avvenuta il 3 febbr. 1900.
L'opera del B. è veramente immensa e le sue investigazioni di analisi e di geometria si alternarono con le più svariate ricerche di fisica matematica. E fu anche un profondo conoscitore e cultore di musica (ebbe prima per maestri la madre e poi il Ponchielli).
L'attività di scienziato e di maestro procurò al B. molti riconoscimenti: socio dell'Accademia delle scienze di Bologna, della Società Italiana detta dei XL, dell'Acc. dei Lincei, dell'Istituto lombardo di scienze e lettere, dell'Accademia delle scienze di Torino, della Società reale di Napoli, dell'Accademia delle scienze di Parigi, dell'Acc. delle scienze di Berlino, di Monaco, della Società di Gottinga, della Società matematica di Londra; dottore honoris causa dell'università di Kazan, di Halle, cavaliere al merito civile di Savoia, ecc.
Il B. lasciò circa 140 scritti; l'elenco completo delle sue opere figura nelle Opere matematiche di E. B., pubblicate in tre volumi (Milano 1902-1910) a cura della facoltà di scienze dell'università di Roma. Tra le principali citiamo: Ricerche di geometria analitica, in Mem. d. Acc. di scienze di Bologna, s. 3, X (1879), pp. 233-312. In esse il B. ottiene, con formule e procedimenti di indiscussa eleganza, risultati in parte nuovi e in parte noti sulla teoria delle cubiche gobbe, delle quartiche gobbe razionali, delle superfici sviluppabili, estendendo lo studio ai luoghi risultanti da una doppia infinità di punti (superficie). Sull'equazione pentaedrale delle superfici di terz'ordine, in Rendic. d. Ist. lombardo, s. 2, XII (1879), pp. 24-36. Intorno alle coniche dei nove punti e ad alcune questioni che ne dipendono, in Mem. d. Acc. di Bologna, s. 2, II (1862), pp. 361-395. Estensione allo spazio dei teoremi relativi alle coniche dei nove punti, in Giorn. di matem., I (1863), pp. 208-217, 354-360. Intorno ad alcuni teoremi di Feuerbach e di Steiner, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 3, V (1874), pp. 543-566. Considerazioni analitiche sopra una proposizione di Steiner, ibid., s. 3, VII (1876), pp. 241-262. Ricerche sulla geometria delle forme binarie cubiche, in Mem. d. Acc. di scienze di Bologna, s. 2, IX (1869), pp. 607-657. Ricerche di analisi applicata alla geometria, pubblicate in varie riprese, in Giornale di matem. del Battaglini, II (1864), pp. 267-282, 297-306, 331-339, 355-375; III (1865), pp. 15-22, 33-41, 82-91, 228-240, 311-314. È questo un lavoro fondamentale nelle matematiche: in esso viene effettuato lo studio dei sistemi di raggi e vengono ricavate varie estensioni dei teorema di Malus-Dupin; in particolare viene introdotto l'importante concetto di "parametro differenziale" di cui il B. fece frequente applicazione anche nelle ricerche di fisica matematica. Intorno ad alcune proprietà delle superfici di rivoluzione, in Annali di matem. pura e applicata, s. 1, VI (1864), pp. 271-79. In esso il B. espone un teorema, a lui dovuto, sulla curvatura di una superficie di rotazione, teorema contenente, come caso particolare, quello di Lionville sulla pseudosfera. Viene calcolata inoltre la superficie e il volume della pseudosfera e viene dimostrato che essa è l'unica superficie di rotazione che, trasformata per via di flessione in un'altra superficie di rivoluzione, dà luogo ad una superficie identica alla prima. Risoluzione di un problema relativo alla teoria delle superfici gobbe, ibid., s. 1, VII (1865), pp. 139-150; Sulla teoria generale delle superfici, in Ateneo veneto, s. 2, V (1868), pp. 535-542. Sulla teoria delle linee geodetiche, in Rendic. d. R. Ist. lombardo, s. 2, I (1868), pp. 708-718. Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque, in Annali di matem. pura ed applicata, s. 2, I (1867), pp. 329-366. Sur la courbure de quelques lignes tracées sur une surface, in Nouvelles Annales, IV (1865), pp. 258-267. Sulle proprietà generali delle superfici di area minima, in Mem. d. Accad. d. scienze di Bologna, s. 2, VII (1867), pp. 412-481. Tale lavoro è una importantissima monografia in cui, fatta una introduzione storica sulla teoria di tali superfici, il B. ricavò, con l'ausilio di talune formule da lui stesso dimostrate, il teorema di Bourret sulla distribuzione in coppie di tutte le superfici ad area minima in modo che siano applicabili fra loro quelle di una medesima coppia; dimostrò i teoremi di Mathet mediante i quali da una superficie ad area minima se ne possono ottenere delle altre; studiò le superfici a curvatura media costante, di cui le minime sono caso particolare. Intorno alla flessione delle superfici rigate, in Ateneo veneto, s. 2, II (365), pp. 503-518. Partendo dalle ricerche di Minding e Bonnet sulla flessione delle superfici rigate, il B., semplificando quanto era stato fatto in precedenza, ottenne una serie di teoremi che ormai sono diventati classici nella geometria differenziale. Un gruppo di lavori, che - senza dubbio - è il più importante di tutti, è quello che si riferisce alle superfici e agli spazi a curvatura costante, e alla geometria pseudosferica. È proprio in questo campo che il B. ottenne i risultati più geniali che gli guadagnarono fama mondiale. A tale gruppo di ricerche fu condotto da una osservazione fatta da L. Lagrange in una delle sue memorie sulle carte geografiche. Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette, in Annali di matem. pura ed applicata, s. i VII (1865), pp. 185-204. In questo lavoro viene dimostrato che tali superfici devono avere necessariamente la curvatura costante. Dopo questa memoria fu breve il passo per quella interpretazione della geometria non euclidea che proiettò nuova luce sulle controversie intorno ai principî fondamentali della geometria ed ai concetti di Gauss, Lobatschewsky e Bolyai. Infatti nel lavoro successivo, Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea (in Giornale di matem., VI [1868], pp. 284-312), il B. dimostrò, per la prima volta, come tutti i teoremi della geometria non-euclidea ammettano una effettiva interpretazione sulle superfici a curvatura costante negativa situate nello spazio euclideo. In una memoria contemporanea sulla Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante (in Annali di matem., s. 2, II [1868-69], pp. 232-255), seguendo i principî già tracciati da Riemann, estese le precedenti interpretazioni ad uno spazio qualunque, mostrando, per la prima volta, la vera essenza del problema dello spazio e troncando definitivamente le controversie che già da tempo serpeggiavano nel mondo della geometria. Sulla superficie di rotazione che serve di tipo alle superfici pseudosferiche, in Giornale di matem., X (1872), pp. 147-159. Teorema di geometria pseudosferica, ibid., p. 53. In esso viene dimostrato l'importante teorema secondo il quale, conducendo dai punti di una retta, nel piano euclideo, le parallele nel senso lobatschewsckiano a un'altra retta perpendicolare alla prima, l'inviluppo di quelle è precisamente la curva meridiana dello pseudosfera, cioè la trattrice. Sulla teoria generale dei parametri differenziali, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 2, VIII (1868), pp. 551-590. Zur Theorie des Krümmungsmasses, in Mathematische Annalen, I (1869), pp. 575-582. Il B. considerò, nelle due opere precedenti, il problema in tutta la sua generalità in relazione a una generica forma differenziale quadratica mostrando come essi sussistano, con una completa analogia, per una funzione di punto di una superficie curva. Estese inoltre agli spazi a quante si vogliano dimensioni, e per una forma qualunque dell'elemento lineare, le formule per la trasformazione di integrali.
Le meditazioni sulla natura dello spazio fisico e i metodi analitici usati nella geometria differenziale attirarono il B. verso i più disparati problemi di meccanica e di fisica matematica e ciò in connessione al fatto che egli concepiva in parte la matematica come mezzo per lo studio della natura essendo poco incline alle astratte speculazioni. A partire dal 1871 il B. iniziò una serie di ricerche riguardanti la cinematica dei fluidi, la teoria del potenziale, la teoria dell'elettricità, della propagazione del calore, dell'elettricità e del magnetismo: Ricerche sulla cinematica dei fluidi, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 3, I (1871), pp. 431-476; II (1872), pp. 381-437; III (1873), pp. 349-407; IV (1874), pp. 443-484. Si tratta di un lavoro di gran mole con il quale il B. diede un notevole contributo alla teoria dei fluidi. Esso rappresenta, contemporaneamente, una ricca miniera di formule, di procedimenti, di risultati di metodi a cui egli stesso attinse per tanti altri lavori posteriori. Partendo dalle ricerche di Kirchhoff, Stokes, Helmholtz, Dirichlet e Brioschi sulla decomposizione del moto elementare di una particella fluida in un moto di massa il B. studiò - nella prima parte - le proprietà relative al movimento di ogni elemento infinitesimale della massa fluida; nella seconda parte sono studiate le proprietà che si verificano ad ogni istante in una porzione finita della massa stessa, proprietà che consistono nelle singolari analogie, scoperte già da Helmholtz, tra il moto dei fluidi e le azioni elettromagnetiche. Nella terza parte si occupa del cosiddetto problema di Dirichlet riguardante la determinazione del potenziale di moto di un fluido incompressibile entro il quale si sposti con date leggi un corpo solido di data forma. Nella quarta parte infine viene sviluppata la teoria sui cosiddetti strati vorticosi che si hanno sotto l'ipotesi della discontinuità delle componenti della velocità lungo una o più superfici di separazione. Formules fondamentales de cinématique dans les espaces de courbure constante, in Bulletin des sciences mathematiques et astronomiques, XI (1876), pp. 233-240. Sull'equilibrio delle superfici flessibili e inestendibili, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 4, III (1822), pp. 217-265. Basandosi sui lavori di Lagrange e Lecornu, il B. diede la definizione dell'inestindibilità come variante dell'elemento lineare (e non superficie come considerava Lagrange), stabilendo le equazioni fondamentali e ricavando la teoria delle tensioni superficiali; aggiunse inoltre le formule relative alla deformazione infinitamente piccola d'una superficie flessibile e inestendibile. Intorno ad alcune questioni di elettrostatica, in Rendic. d. R. Ist. lombardo, s. 2, X (1877), pp. 171-185. Intorno ad alcuni punti della teoria del potenziale, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 3, IX (1878), pp. 451-475. Sulle funzioni potenziali di sistemi simmetrici attorno a un asse, in Rendic. d. R. Ist. lombardo, s. 2, XI (1878), pp. 668-680. Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 4, II (1880), pp. 461-505. In tale lavoro il B. fornì nuove relazioni e diede, con eleganza e semplicità, l'espressione della funzione potenziale di un disco circolare simmetricamente elettrizzato. Sulla teoria dell'attrazione degli elissoidi, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 4, I (1880), pp. 573-616). Sulle funzioni associate e specialmente su quelle della calotta sferica, in Mem. d. Accad. d. scienze di Bologna, s. 4, IV (1883), pp. 211-286. In essa il B. stabilì la sua teoria sul teorema d'inversione e sulle funzioni associate applicandola al caso della calotta sferica ed ottenendone la funzione potenziale di una distribuzione simmetrica sulla calotta, nota precedentemente solo per alcuni casi molto particolari, e l'equazione delle corrispondenti linee di forza, ignota prima d'allora. Sulla funzione potenziale della circonferenza, in Rendic. d. Circ. mat. di Palermo, III (1889), pp. 193-209. Il B. espose in essa alcune particolari proprietà della funzione potenziale della circonferenza che è l'inversa della media aritmetica-geometrica di Gauss effettuata tra i valori della minima e della massima distanza dalla circonferenza del punto "potenziato" e soddisfa ad un'equazione differenziale che non è altro che una trasformata dell'equazione di Laplace. In questo lavoro è anche effettuata l'applicazione del teorema di Green alle funzioni potenziali simmetriche intorno a un asse. Nota sulla teoria matematica dei solenoidi elettrodinamici, in Il Nuovo Cimento, s. 2, VII-VIII (1871-72), pp. 285-301. Il B. considerò in essa dei sistemi continui di corrente con legge di distribuzione molto più generale, del caso di solenoidi composti di costanti elementari, uguali, equidistanti e perpendicolari rispetto ad una direttrice, e dimostrò un teorema sull'azione elettromagnetica di tale solenoide. Sulla teoria dei sistemi di conduttori elettrizzati, in Rendic. d. Ist. lombardo, s. 2, XV (1882), pp. 400-407. È questo un lavoro di particolare importanza in quanto da esso si ricava una certa analogia tra le teorie dell'elettricità e della termodinamica. Viene stabilita la più generale e semplice espressione del lavoro meccanico esterno compiuto, in un sistema di conduttori elettrizzati, dalle forze elettriche, durante una variazione qualunque di forma, di posizione e di stato elettrico degli stessi conduttori. Viene dedotto il teorema di reciprocità di Clausius ottenendo, nel caso dei cosiddetti cicli-chiusi, una spiccata analogia col secondo principio della termodinamica. Considerazioni sulla teoria matematica del magnetismo, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 5, I (1891), pp. 409-453. Scopo di tale lavoro fu quello di fondare una teoria libera da tutte le ipotesi restrittive fatte da Poisson sulla forma e distribuzione dei cosiddetti elementi magnetici. Il B. trovò, tra altri risultati, che in ogni caso esiste una funzione che ha, rispetto al problema dell'induzione magnetica, lo stesso ufficio e carattere della funzione di Green in elettrostatica, e coincide, nel caso dell'isotropia, colla funzione caratteristica di ogni funzione potenziale sotto una forma che può poi ridursi a integrale di superficie. Considerazioni sulla teoria matematica dell'elettromagnetismo, ibid., s. 5, II (1892), pp. 313-378. È svolta, in tale lavoro, la teoria fondamentale dell'elettromagnetismo dal punto di vista maxwelliano risolvendo le apparenti confusioni che sorgono dalla stessa opera di Maxwell in cui sono introdotte due diverse specie di forze. Sulle equazioni generali dell'elasticità, in Annali di matem., s. 2, X (1880-82), pp. 188-211. Stabilite le equazioni generali dell'elasticità il B. dimostrò che, mentre queste sono indipendenti dal postulato euclideo, nel caso dei mezzi isotropi le equazioni dell'isotropia dipendono invece da tale postulato. E messa così in evidenza la causa delle varie difficoltà che avevano incontrato i suoi predecessori (C. Neumann e Borchardt) quando avevano tentato di dedurre le equazioni dell'isotropia da quelle generali. Nasce così la teoria dell'isotropia elastica di uno spazio a curvatura costante. In tali spazi il B. trovò una particolare deformazione, priva tanto di rotazione quanto di dilatazione, nella quale la forza e lo spostamento hanno in ogni punto la stessa (o l'opposta) direzione, e le grandezze sono costantemente proporzionali. Tali risultati sono di notevole interesse in quanto presentano una singolare analogia colle idee di Maxwell sull'azione dei mezzi dielettrici. Sulle condizioni di resistenza dei corpi elastici, in Rendic. d. Ist. lombardo, s. 2, VIII (1885), pp. 165-180. Il B. dimostrò in essa che la ricerca del limite di resistenza di un corpo elastico è strettamente legata al cosiddetto potenziale di elasticità e non alla sola tensione massima come era stato prima accettato dal De Saint-Venant e dal Clebsch. Note fisico-matematiche, in Rendic. d. Circ. matem. di Palermo, III (1889), pp. 67-99. Intorno al mezzo elastico di Green, in Rendic. d. Ist. lombardo, s. 2, XXIV (1891), pp. 717-726. Il B. giunse in questo scritto a determinare una forma di potenziale che è la stessa di quella assegnata da Green per il più generale mezzo elastico nel quale possono propagarsi onde stazionarie longitudinali, ed inoltre pervenne alla conclusione che il mezzo elastico di Green è il mezzo elastico più generale in cui, fissata una qualunque retta come direzione della dilatazione lineare di una particolare deformazione, con essa coincida sempre una delle corrispondenti pressioni principali. Sull'interpretazione meccanica delle formule di Maxwell, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 4, VII (1886), pp. 3-38. Supponendo il mezzo cosmico in cui si propagano le azioni elettriche magnetiche omogeneo e isotropo, il B. giunse al risultato che, in un tale mezzo, non può esistere una deformazione. Sull'espressione data da Kirchhoff al principio di Huygens, in Rendic. d. Acc. dei Lincei, s. 5, IV (2° sem. 1895), pp. 29-30. Intorno ad alcuni problemi di propagazione del calore, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 4, VIII (1887), pp. 291-326. Sui potenziali termodinamici, in Rendic. d. Acc. dei Lincei, s. 5, IV (1° sem. 1895), pp. 471-480.
Bibl.: M. Lévy, Commemorazione di E. B., in Comptes rendus, CXXX (1° sem. 1900), pp. 677-681; E. Pascal, Commemor. di E. B., in Rendic. Ist. lombardo, s. 2, XXXIV (1901), pp. 57-10; L. Cremona, Commemor. di E. B., in Opere matematiche di E. B., I, Milano 1902, pp. IX-XII; W. W. Rouse Ball, Hist. des mathématiques, Paris 1906, pp. 220-222; M. d'Ocagne, Histoire des sciences mathématiques, Paris 1952, p. 150.