Beth, Evert Willem

Beth, Evert Willem

Logico-matematico olandese (Almelo 1908 - Amsterdam 1964). Dal 1946 insegnò nell’univ. di Amsterdam. Dopo studi di storia della logica e della matematica (De wijsbegeerte der wiskunde van Parmenides tot Bolzano, 1944; Geschiedenes der logica, 1944) passò a ricerche nel campo della logica matematica, ottenendo importanti risultati nella teoria della definizione (teorema di definibilità), nell’analisi semantica della logica classica e di quella intuizionista (specie col suo metodo delle tavole semantiche: ➔ oltre Tavole di Beth), nella teoria dei modelli, ecc. Tra le sue opere di questa seconda fase d’attività: Les fondements logiques des mathématiques (1950), L’existence en mathématique (1955), La crise de la raison et la logique (1956), The foundations of mathematics (1959), Formal methods (1962).

Sistema di Beth

Sistema di deduzione (➔) naturale, noto come sistema F: può essere descritto come il sistema in cui una derivazione formale di una conclusione Z dalle premesse H1, H2, ..., è una tavola di B. chiusa le cui espressioni iniziali sono H1, H2, ..., nella colonna sinistra e Z nella colonna destra.

Tavole di Beth

Metodo fondato sul ragionanento indiretto (o ragionamento per assurdo), che sostituisce l’usuale trattazione assiomatica della logica elementare ristabilendo su basi semantiche la teoria della deduzione. Per dimostrare che una data espressione Z è una conseguenza di un certo numero di espressioni H1, H2, ..., basta provare che non esiste alcun controesempio. La ricerca del controesempio va effettuata secondo un metodo algoritmico, fornito appunto dalle tavole. Una tavola di B. consta di due colonne. Nella colonna di sinistra si dispongono le espressioni valide, in quella di destra le espressioni non valide. Come espressioni iniziali si prendono le H1, H2,..., nella colonna di sinistra, e la Z nella colonna di destra. La tavola può decomporsi in sottotavole, secondo regole determinate. Le tavole di B. hanno stretti legami con le derivazioni in sistemi di deduzione naturale: in effetti ogni tavola di B. può essere trasformata in una derivazione in un sistema F di B., e viceversa ogni derivazione in F può essere trasformata in una tavola di Beth.