FATTORIALE

FATTORIALE

Si dice fattoriale di un numero intero positivo n il prodotto dei primi n numeri interi. Adottando la notazione n!, dovuta a Kramp, è, per definizione, n! = 1 • 2 • 3 •• n; alcuni autori usano designare il fattoriale con una delle notazioni n, π (n), ma la prima è ormai la più usata. La considerazione del fattoriale è importante in questioni di aritmetica superiore e trova applicazioni in varî rami delle matematiche applicate, ma già si incontra nelle più elementari questioni di analisi combinatoria. Così, ad es., il numero dei modi in cui n persone si possono disporre attorno a un tavolo è n!; genericamente, n oggetti (elementi) si possono permutare in n! modi. Se degli n elementi h sono eguali tra loro e i rimanenti n-h pure uguali fra loro, il numero delle permutazioni si riduce (v. combinatoria , analisi) a

Dalla stessa definizione appare che, al crescere di n, il fattoriale cresce rapidamente; anzi il punto esclamativo, che segue la n nella notazione del Kramp, esprime la meraviglia provocata dalla rapidità con cui cresce il fattoriale. Il calcolo di n! riesce agevole solo per piccoli valori di n; così 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120!, ecc.

Si conosce da tempo una formula, dovuta a J. Stirling, che fornisce un'espressione f(n) asintotica di n! cioè tale che

ciò che si esprime scrivendo n! ~ f(n). La formula di Stirling è

nella quale, come è noto, π = 3,14159... è il rapporto della lunghezza di una circonferenza qualsiasi a quella del rispettivo diametro, ed

Per dimostrare la formula di Stirling occorrono cognizioni di carattere piuttosto elevato. Eulero fu condotto alla scoperta dell'integrale (detto euleriano di 2ª specie)

studiando la questione di ricercare una funzione f (x) che, in corrispondenza a valori interi della variabile, assumesse per valori i rispettivi fattoriali. Si dimostra che l'integrale euleriano di 2ª specie, che ha significato solo per valori positivi di x, definisce una funzione Γ (x) (detta funzione Gamma dal Legendre) che può essere continuata in tutto il piano complesso (v. funzione: Funzioni notevoli). Integrando per parti, si ha Γ (x + 1) = xΓ (x) e poiché Γ (1) = 1, si ha Γ (n + 1) - n!. Ciò posto, applicando la classica formula del Raabe

si stabilisce la cercata espressione asintotica di log Γ (x + 1) e quindi di Γ (x + 1). Una bella dimostrazione della formula di Stirling è dovuta a E. Cesàro, nel Corso di Analisi algebrica, Torino 1894.