fattorizzazione

fattorizzazione

fattorizzazione o scomposizione in fattori, operazione consistente nella riscrittura di una generica espressione numerica o algebrica come prodotto di più fattori. Un esempio di fattorizzazione, nell’ambito dei numeri interi, è dato dall’espressione 6 = 2 ⋅ 3; nell’ambito dei polinomi, un esempio di fattorizzazione è dato invece dall’espressione x ³ − x = x(x + 1)(x − 1).

Contesto generale

Il contesto generale in cui effettuare una fattorizzazione è quello degli anelli: se A è un anello e a è un elemento di A, allora una fattorizzazione di a è una qualsiasi scrittura del tipo a = b₁ ⋅ b₂ ⋅ ... ⋅ b_n, dove b₁, ..., b_n sono elementi di A. Si definisce lunghezza di una fattorizzazione il numero di fattori non invertibili che vi compaiono. Una fattorizzazione di lunghezza uno viene detta banale: questo è per esempio il caso della fattorizzazione, effettuata nel contesto dei numeri interi, 6 = (−1) ⋅ (−6), giacché −1 è invertibile; la fattorizzazione 6 = 2 ⋅ 3 non è invece banale e ha lunghezza 2. Due fattorizzazioni si dicono equivalenti se hanno la stessa lunghezza e se ogni fattore non invertibile dell’una è associato a un fattore non invertibile dell’altra (→ elementi associati). Se l’anello considerato è un dominio d’integrità, si può allora sfruttare la nozione di irriducibilità di un elemento. Per definizione, un elemento di A è irriducibile se ammette solamente fattorizzazioni banali: tali elementi irriducibili costituiscono pertanto gli elementi fondamentali delle fattorizzazioni, a partire dai quali possono essere ricavati gli altri elementi dell’anello mediante un opportuno numero di moltiplicazioni con altri elementi irriducibili. Particolarmente importanti sono dunque le fattorizzazioni in irriducibili, vale a dire quelle fattorizzazioni in cui tutti i singoli fattori non invertibili che vi compaiono sono elementi irriducibili. In alcuni casi, come quello dei numeri interi e quello dei polinomi, ogni elemento è fattorizzabile in irriducibili e tale fattorizzazione è unica, a meno di equivalenza: l’anello assume in tal caso la struttura di dominio a fattorizzazione unica. Poiché in un dominio a fattorizzazione unica gli elementi irriducibili coincidono con gli elementi primi, in questi casi si parla equivalentemente di fattorizzazione in elementi primi.

Fattorizzazione di un numero intero

Fattorizzare un numero intero positivo n significa determinare k interi n₁, ..., n_k, diversi da 1 e da −1, tali che valga l’uguaglianza n = n₁ ⋅ ... ⋅ n_k. In generale, un numero intero ammette più fattorizzazioni: per esempio 20 = 2 ⋅ 10 = 4 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5. Poiché il segno non incide sulla possibilità di fattorizzare un numero, si può considerare la fattorizzazione nell’ambito dei soli numeri interi positivi. Tra le tante fattorizzazioni di un numero intero positivo, ne esiste una privilegiata, detta fattorizzazione in numeri irriducibili (o in numeri primi) che consiste nel determinare una fattorizzazione di lunghezza massima: il fatto che ogni intero ammetta una tale scomposizione in modo unico è il contenuto del teorema fondamentale dell’aritmetica, il quale può equivalentemente essere enunciato affermando che l’anello dei numeri interi Z è un dominio a fattorizzazione unica (si veda anche → numero intero, scomposizione in fattori di un).

Fattorizzazione di un polinomio

Fattorizzare un polinomio p(x) significa determinare k polinomi p₁(x), ..., p_k(x), di grado maggiore di zero, tali che valga l’uguaglianza p(x) = p₁(x) ⋅ ... ⋅ p_k(x). Lo scopo è quello di ottenere un’espressione più semplice o significativa del polinomio, che permetta di effettuare delle semplificazioni o di individuare più facilmente le radici dell’equazione ottenuta uguagliando a zero il polinomio stesso. l metodi più comuni per la fattorizzazione di un polinomio sono:

• il riconoscimento di un prodotto notevole, come per esempio

• il raccoglimento a fattor comune totale, quale

• i raccoglimenti a fattor comune parziali, quale

• per i trinomi di secondo grado ax ² + bx + c, tali che

dove x₁ e x₂ sono gli zeri del trinomio.

Queste pratiche non danno garanzia di successo, nel senso che spesso si arriva alla soluzione tramite tentativi. In generale, non esiste infatti un algoritmo che permetta di arrivare sempre, in un numero finito di passi, alla soluzione (si dice che il problema è computazionalmente intrattabile).

Il problema della fattorizzazione dei polinomi è collegato a quello della risoluzione delle equazioni algebriche polinomiali e al teorema fondamentale dell’algebra; infatti, conoscere uno degli zeri di un polinomio equivale a riuscire a raccogliere un suo fattore lineare: se p(x) è un polinomio di grado n in x, e se x₀ è uno zero del polinomio, allora p(x) = (x − x₀) p₁(x) dove p₁(x) è un polinomio di grado n − 1.

Se si considera un polinomio quale 2x − 2, a coefficienti nel campo Q dei numeri razionali, allora la fattorizzazione 2x − 2 = 2 ⋅ (x − 1) è banale: infatti, considerato come polinomio costante a coefficienti razionali, 2 è invertibile con inverso 1/2. La stessa fattorizzazione non è più banale se invece si considera 2x − 2 come polinomio a coefficienti nell’anello Z dei numeri interi: infatti, come polinomio costante, 1/2 non è un polinomio a coefficienti interi e quindi 2 non è invertibile come polinomio costante nell’anello Z[x] dei polinomi a coefficienti in Z. L’esempio illustrato mostra come, nello studio delle fattorizzazioni di un polinomio, risulti determinante il particolare insieme di polinomi preso in considerazione, vale a dire l’insieme in cui sono definiti i coefficienti dei polinomi considerati.

Se A è un dominio a fattorizzazione unica oppure un campo, allora anche l’anello A[x] dei polinomi a coefficienti in A è un dominio a fattorizzazione unica. Tali sono per esempio gli anelli di polinomi Z[x], Q[x], R[x] e C[x], dove i coefficienti variano rispettivamente all’interno dell’insieme dei numeri interi, razionali, reali e complessi. Nel caso reale, i polinomi irriducibili hanno tutti grado al più 2: pertanto ogni polinomio a coefficienti reali ammette un’unica fattorizzazione, a meno di equivalenza, come prodotto di polinomi irriducibili a coefficienti reali di grado al più 2. Nel caso complesso, la situazione è migliore grazie al fatto che C è un campo algebricamente chiuso: da ciò segue che, in questo caso, i polinomi irriducibili sono tutti e soli quelli di grado 1 e pertanto ogni polinomio a coefficienti complessi si fattorizza in modo unico, a meno di equivalenza, come prodotto di polinomi a coefficienti complessi di grado 1. Come la nozione di irriducibilità di un polinomio, la fattorizzazione in irriducibili di un dato polinomio è strettamente legata all’insieme in cui sono considerati i coefficienti del polinomio dato: per esempio, il polinomio x ² − 2 è irriducibile nel campo dei razionali mentre lo è in quello dei reali scomponendosi nel prodotto (x − √(2))(x + √(2)). Analogamente, il polinomio x ² + 1 è irriducibile nel campo reale, mentre come polinomio complesso si scompone nel prodotto (x + i)(x − i), dove i è l’unità immaginaria, e questa è la sua fattorizzazione in irriducibili nel campo complesso.

Fattorizzazione di una matrice

L’anello delle matrici non è un dominio d’integrità, né un dominio a fattorizzazione unica: non disponendo nemmeno del concetto di irriducibilità, non esistono in questo caso fattorizzazioni canoniche analoghe a quelle valide per numeri interi o per polinomi. A seconda del particolare tipo di matrice considerato, si dimostra l’esistenza di varie fattorizzazioni standard; gli algoritmi per determinare tali fattorizzazioni occupano un posto centrale nella risoluzione di numerosi problemi di analisi numerica (→ matrice, decomposizione di una).