KLEIN, Felix

KLEIN, Felix

Matematico, nato a Düsseldorf il 25 aprile 1849, morto a Gottinga il 22 giugno 1925. Assistente a 17 anni, all'università di Bonn, del matematico e fisico J. Plücker, aveva l'intenzione di dedicarsi alla fisica, dopo avere acquistato solide basi matematiche. Prevalse poi l'interesse per la matematica, ma le vedute fisiche si rivelano nel modo originale di porre i problemi e presentarne i risultati. Sul pensiero scientifico del K. ebbe un'influenza decisiva il breve soggiorno a Parigi nella primavera del 1870. Le conversazioni con maestri quali G. Darboux e C. Jordan e col giovane matematico norvegese S. Lie gli rivelarono l'importanza che ha nella matematica il concetto di gruppo di operazioni. A questo concetto il K. collega la stessa classificazione degl'indirizzi geometrici.

Gruppo è un insieme di operazioni tale che l'applicazione successiva di due operazioni dell'insieme dà un'operazione dell'insieme (v. gruppo). Secondo il K. una proprietà di una figura è geometrica se essa appartiene, non solo alla detta figura, ma anche a ogni figura che possa dedursi da quella mediante le operazioni di un gruppo. La struttura del gruppo caratterizza la teoria, di cui quella proprietà fa parte (v. geometria).

Così la distinzione fra la geometria euclidea e i due tipi di geometrie non euclidee dipende dalle particolarità che si attribuiscono al gruppo dei movimenti dei corpi rigidi. Partendo da queste nozioni poté il K. portare la più soddisfacente e limpida dimostrazione dell'impossibilità di stabilire il postulato delle parallele come conseguenza degli altri postulati della geometria elementare riuscenddo così a vincere le diffidenze che ancora (1871) esistevano contro la geometria non euclidea.

Il legame fra i gruppi di un numero finito di operazioni e le equazioni algebriche era stato rilevato da E. Galois (1832), ma chiarito solo intorno al 1870. Il K., studiando i gruppi dei movimenti che sovrappongono a sé stesso un poliedro regolare, fa vedere che il gruppo dell'icosaedro interviene nella teoria dell'equazione di 5° grado, e illumina così i procedimenti indicati da L. Brioschi, C. Hermite e L. Kronecker per risolvere quell'equazione col mezzo delle funzioni modulari ellittiche.

Lo studio di queste funzioni gli suggerisce il problema di costruire la più generale funzione uniforme di una variabile complessa che riprende il proprio valore quando la variabile è sottoposta a un gruppo discontinuo di trasformazioni lineari (funzioni automorfe). In questa ricerca si lascia guidare dalle grandiose concezioni di B. Riemann, che egli in quell'epoca (1881) aveva cercato di rendere intuitive mostrando con esperienze fisiche concettuali (correnti elettriche stazionarie sopra una lamina conduttrice) la possibilità di costruire funzioni, di cui Riemann aveva stabilito l'esistenza. Nello studio delle funzioni automorfe il K. s'incontrò con le ricerche che sullo stesso argomento, ma per altra via, stava conducendo allora un giovane matematico, divenuto poi celebre, H. Poincaré (v. funzione: Funzioni notevoli).

Altre ricerche del K. riguardano la geometria della retta, la forma delle curve e delle superficie algebriche, ecc.

Grande influenza ebbero sullo sviluppo matematico dell'ultimo cinquantennio i corsi impartiti dal Klein nelle varie università ove insegnò (Erlangen dal 1872; Monaco dal 1875; Lipsia dal 1880; Gottinga dal 1886). Quei corsi, prima litografati, poi stampati, mettono in luce ravvicinamenti imprevisti fra diverse teorie. Il K. ha sempre combattuto lo specialismo nella ricerca matematica, sostenendo la solidarietà tra le varie teorie, anzi tra le varie scienze. Con la stessa veduta egli volle restringere i legami fra la matematica e le applicazioni; e a tale scopo fondò a Gottinga un istituto di matematiche applicate. Cercò di togliere la matematica dell'insegnamento secondario dall'isolamento in cui si trovava, ravvivandola con nozioni moderne che si prestassero ad applicazioni. Concepì e diresse la pubblicazione della Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (in 7 volumi suddivisi in molte parti e non ancora completi, Lipsia 1898 segg.) ove è riassunta tutta la produzione matematica del sec. XIX. Per le singolari qualità di organizzatore, per il fervore con cui sostenne le sue iniziative, sempre ispirate ad alte vedute, per i meriti di ricercatore e di maestro, il K. rappresenta una delle maggiori personalità scientifiche della seconda metà del secolo decimonono.

Il K. stesso curò la pubblicazione delle sue Gesammelte Mathematische Abhandlungen (Berlino 1923-25), che arricchì di note preziose per la storia della matematica contemporanea.

Curve di Klein-Lie o curve W. - Presentano un particolare interesse storico, in quanto le ricerche su esse compiute, in collaborazione, dal K. e da S. Lie (in Math. Ann., IV, 1871) prelusero allo sviluppo della teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni (v. gruppo). Si possono caratterizzare come le traiettorie di un qualsiasi gruppo continuo ∞¹ di trasformazioni proiettive del piano o dello spazio. In altre parole ciascuna di esse è il luogo dei punti, in cui un punto, preso ad arbitrio come iniziale, è trasformato dalle 00i trasformazioni del gruppo. Perciò nel piano risultano definite come le curve integrali di un'equazione differenziale del tipo, già prima studiato da C. G. J. Jacobi (1842),

dove le e denotano altrettante costanti prefissate. Fra le curve W piane compaiono, in particolare, le rette e le coniche. Ogni altra curva W piana è trasformabile, per mezzo di una conveniente proiettività, in una curva logaritmica oppure in una curva integrale di un'equazione differenziale del tipo

con β e α costanti; talché, in questo secondo caso, l'equazione cartesiana della curva assume l'aspetto

dove (x₀, y₀) è il punto iniziale, che si può prendere ad arbitrio. Il gruppo generatore delle curve di quest'ultimo tipo ammette sempre come uniti i vertici (e i lati) di un triangolo, costituito, nel caso dell'equazione (1), dai due assi coordinati e dalla retta all'infinito; cosicché per ogni curva W corrispondente risulta costante, in forza della stessa definizione, il birapporto di un generico punto della curva e delle tre intersezioni della rispettiva tangente con i lati del triangolo degli elementi uniti. Appunto dalla costanza di questo birapporto (Wurf, secondo la nomenclatura di C. G. Ch. v. Staudt) deriva il nome di curve W. Nello spazio i tipi, proiettivamente distinti, di curve W sono, come ben si comprende, più numerosi.

Bibl.: Per uno sguardo generale sull'opera matematica del K., v.: R. Courant, F. K. als wissenschaftlicher Führer, in Nachrichten der Gesell. der Wiss. zu Göttingen, 1925-26. Per le curve di Klein-Lie, v.: S. Lie e G. Scheffers, Vorlesungen über Kontinuierliche Gruppen, Lipsia 1893, pp. 68-82.