fibrato

fibrato

Siano dati gli spazi topologici B (detto spazio totale), X (detto base) e F (detto fibra tipica), insieme con una applicazione continua e suriettiva τ:B→X dotata delle seguenti proprietà: ogni x∈X possiede un intorno U_α tale che esiste un omeomorfismo φ_α: τ⁻¹(U_α)⊂B→U_α×F⊂X×F per il quale τ=τ₍^°φ_α. Con τ₍:X×F→X indichiamo qui il proiettore sul primo fattore del prodotto cartesiano tra X e F definito da τ₍(x,a)=x, x∈X e a∈F. In altri termini, si può considerare un fibrato {B,X,F,τ} come una copia dello spazio base X cui si sia attaccata in ogni punto una copia della fibra tipica F. Non a caso, il più semplice esempio di fibrato con base X e fibra tipica F è il prodotto cartesiano B=X×F, con τ(x,a)=x. {B,X,F,τ} è detto in questo caso fibrato banale (o triviale). Come si vede dalla definizione, nel caso generale la richiesta di esistenza di banalizzazioni è locale e cioè ristretta ai singoli intorni U_α: le mappe φ_α sono dette infatti banalizzazioni locali e ogni fibrato è dunque localmente banale. Naturalmente abbiamo F=τ⁻¹(x), per ogni x∈X. La natura della fibra tipica F determina, per così dire, quella del fibrato stesso. Per es., se essa è uno spazio vettoriale si parlerà di fibrato vettoriale, se è un gruppo (che agisce su sé stesso per traslazione a sinistra) di fibrato principale. Di fondamentale importanza nello studio dei fibrati è la nozione di sezione. Si tratta di una mappa Φ:X→B tale che τ(Φ(x))=x per ogni x∈X. Una sezione mappa dunque un punto della spazio di base nella fibra sopra di esso. È allora possibile estrarre numerose informazioni sulla natura di un fibrato {B,X,F,τ} dallo spazio Γ(B) di tutte le sue sezioni. La nozione di fibrato ha origine nell’opera di Ethan Stiefel prima e Hassler Whitney poi: il primo introdusse particolari invarianti per diffeomorfismi di varietà differenziabili considerando un campo di un numero finito di vettori indipendenti associato a ogni punto delle varietà stesse (un fibrato vettoriale, dunque), il secondo sistematizzò il trattamento matematico di questi oggetti.

→ Geometria non commutativa