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fibrato

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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fibrato

Luca Tomassini

Siano dati gli spazi topologici B (detto spazio totale), X (detto base) e F (detto fibra tipica), insieme con una applicazione continua e suriettiva τ:B→X dotata delle seguenti proprietà: ogni x∈X possiede un intorno Uα tale che esiste un omeomorfismo φα: τ−1(Uα)⊂B→Uα×F⊂X×F per il quale τ=τ(°φα. Con τ(:X×F→X indichiamo qui il proiettore sul primo fattore del prodotto cartesiano tra X e F definito da τ((x,a)=x, x∈X e a∈F. In altri termini, si può considerare un fibrato {B,X,F,τ} come una copia dello spazio base X cui si sia attaccata in ogni punto una copia della fibra tipica F. Non a caso, il più semplice esempio di fibrato con base X e fibra tipica F è il prodotto cartesiano B=X×F, con τ(x,a)=x. {B,X,F,τ} è detto in questo caso fibrato banale (o triviale). Come si vede dalla definizione, nel caso generale la richiesta di esistenza di banalizzazioni è locale e cioè ristretta ai singoli intorni Uα: le mappe φα sono dette infatti banalizzazioni locali e ogni fibrato è dunque localmente banale. Naturalmente abbiamo F=τ−1(x), per ogni x∈X. La natura della fibra tipica F determina, per così dire, quella del fibrato stesso. Per es., se essa è uno spazio vettoriale si parlerà di fibrato vettoriale, se è un gruppo (che agisce su sé stesso per traslazione a sinistra) di fibrato principale. Di fondamentale importanza nello studio dei fibrati è la nozione di sezione. Si tratta di una mappa Φ:X→B tale che τ(Φ(x))=x per ogni x∈X. Una sezione mappa dunque un punto della spazio di base nella fibra sopra di esso. È allora possibile estrarre numerose informazioni sulla natura di un fibrato {B,X,F,τ} dallo spazio Γ(B) di tutte le sue sezioni. La nozione di fibrato ha origine nell’opera di Ethan Stiefel prima e Hassler Whitney poi: il primo introdusse particolari invarianti per diffeomorfismi di varietà differenziabili considerando un campo di un numero finito di vettori indipendenti associato a ogni punto delle varietà stesse (un fibrato vettoriale, dunque), il secondo sistematizzò il trattamento matematico di questi oggetti.

→ Geometria non commutativa

Vedi anche
spazio Sostantivo polisenso che designa in generale un’estensione compresa tra due o più punti di riferimento. Può essere variamente interpretato a seconda che lo si consideri dal punto di vista filosofico, psicologico, geometrico, fisico, astronomico, geografico, architettonico, pittorico, astronautico e industriale. ... geometria In senso ampio e generico, ramo della matematica che studia lo spazio e le figure spaziali. 1. Cenni storici 1.1 L’antichità. - L’origine della geometria è legata a concreti problemi di misurazione del terreno (nacque a scopi agrimensori nella zona del delta del Nilo); si trattava quindi essenzialmente ... rivestimento Il materiale con cui si è ricoperta una superficie, a scopo protettivo o decorativo. biologia Epiteli di r. Epiteli che tappezzano la superficie esterna del corpo e le pareti di cavità interne, comunicanti o meno con l’esterno. botanica rivestimento (o indumento) ceroso è il complesso delle sostanze ... intorno In topologia, sottoinsieme associato a un punto dello spazio, che gode di certe proprietà, le quali corrispondono all’idea intuitiva di ‘vicinanza’. A seconda che queste proprietà siano più o meno restrittive, lo spazio stesso viene a coincidere con l’uno o l’altro tipo di spazio topologico. Se, quando ...
Categorie
  • GEOMETRIA in Matematica
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    fibrato costrutto geometrico, utilizzato nel contesto della → geometria algebrica e della → geometria differenziale, che fornisce informazioni locali su una configurazione più generale. Attraverso il fibrato uno spazio topologico totale X viene visto localmente come topologia prodotto di due spazi topologici ...
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    Enciclopedia on line
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    Dizionario di Medicina (2010)
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    Dizionario delle Scienze Fisiche (1996)
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Vocabolario
fibrato
fibrato agg. [dal lat. fibratus]. – Che presenta fibre o più genericam. venature: steli di marmo fibrati come vegetali (D’Annunzio). In araldica, attributo delle foglie con fibre di smalto diverso.
fibra
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