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di Santuzza Baldassarri Ghezzo - Enciclopedia Italiana - IV Appendice (1978)
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Santuzza Baldassarri Ghezzo

In matematica, un f. in una classe A di oggetti, è. una sottoclasse non vuota di A, soddisfacente a certe condizioni. F. di sottoinsiemi non vuoti di un dato insieme, sono fondamentali nella topologia, in quanto collegati proprio alla nozione di convergenza: essi hanno, in spazi topologici generali, il ruolo che le successioni hanno nell'analisi classica, e intervengono in molte questioni, come l'uniformità, la compattezza, ecc. Definiremo dapprima questo importante tipo di f. d'insiemi, ne indicheremo il collegamento con il concetto di convergenza, e daremo poi una definizione di f. più generale.

Filtri d'insiemi. - Un f. su un insieme X è una collezione non vuota ℱ di sottoinsiemi di X, soddisfacente alle condizioni seguenti: 1) Se A e B appartengono a ℱ, anche l'intersezione A ⋂ B appartiene a ℱ. 2) Se A ∈ ℱ, (∈, sta per "appartiene"), ogni sottoinsieme di X che contenga A, appartiene a ℱ. 3) ℱ non contiene il sottoinsieme vuoto ∅ di X.

Per alcuni autori ℱ, così definito, è un "f. proprio" su X, mentre un f. su X soddisfa solo alle condizioni 1) e 2). Seguendo la nostra definizione, l'insieme ℘ (X) (indicato anche con exp X) di tutti i sottoinsiemi di X, è detto "f. improprio" o "f. nullo".

Un f. su X è detto anche "ideale in 〈 ℘ (X), ⋂ >", o "ideale-intersezione", denominazione giustificata da una stretta correlazione esistente tra i f. su X e gl'ideali di un certo anello booleano costruito a partire da X (v. algebra, in App. II, 1, p. 125).

Esempi di f. su un insieme X: a) l'ínsieme dei sottoinsiemi di X contenenti un dato sottoinsieme non vuoto A di X; questo è detto il "f. principale S (A) generato da A"; b) se X = N è l'insieme dei numeri interi ≥ 0, i complementari dei sottoinsiemi finiti (anche dell'insieme vuoto) di N costituiscono il "f. di Fréchet"; c) se X è dotato di una struttura di spazio topologico, (v. spazio, in questa App.), la totalità degl'intorni d'un punto x0 è un f. ℑx0 su X; e lo è anche la totalità S (x0) dei sottoinsiemi di X contenenti l'elemento x0.

Basi di filtri. Ultrafiltri. - Dato un f. ℱ su un insieme X, una collezione ℬ di sottoinsiemi di X è detta una "base" del f. ℱ su X, se per ogni A ∈ ℱ esiste in ℬ un B ⊂ A (⊂, sta per "contenuto"). ℬ è una "base di f. su X" se esiste un f. ℱ su X del quale ℬ è una base. Si ha che: una collezione non vuota ℬ di sottoinsiemi di X è una base di f. su X, se e solo se ℬ non contiene l'insieme vuoto, e, per ogni coppia B1, B2 di elementi di ℬ, B1 ⋂ B2 contiene un elemento di ℬ. In tal caso la totalità ℱ (ℬ) dei sottoinsiemi A di X che contengono qualche B di ℬ, è un f. univocamente determinato: il "f. generato dalla base di f. ℬ".

Una collezione non vuota S di sottoinsiemi di X, è detta una "sottobase di f.", se l'intersezione di un qualunque numero finito di elementi di S non è l'insieme vuoto (proprietà dell'intersezione finita). Se S è una sottobase di f., la totalità ℬ (S) delle intersezioni finite di elementi di S, è una base di f. (che risulta univocamente determinata). Siano ora ℱ1 ed ℱ2 due f. su un insieme X, se come collezioni ℱ1 ⊂ ℱ2, si dice che ℱ2 è un "sottofiltro" (o che è più fine) di ℱ1 e si scrive ℱ2 〈 ℱ1•ℱ2 è "strettamente più fine" di ℱ1, se è inoltre ℱ2 ≠ ℱ1. Si ottiene così una relazione d'ordine (〈) nella totalità Φ (X) dei f. su X. Aggiungendo a Φ (X) il f. nullo ℘ (X), si ottiene la totalità Φ* (X) dei f. nella seconda accezione indicata all'inizio; ebbene Φ* (X), con la relazione 〈, risulta essere un "reticolo completo distributivo", (v. reticolo, in App. III, 11, p. 603), con più grande elemento S (X) = {X} e più piccolo elemento S(∅) = ℘ (X).

Un f. U su un insieme X, tale che non esistano f. su X strettamente più fini di U, è detto un "f. massimale" o un "ultrafiltro". Si verifica che un f. ℱ su X è massimale se e solo se per ogni coppia A, B di sottoinsiemi di X, tale che l'unione A ⋃ B ∈ ℱ, si ha o A ∈ ℱ oppure B ∈ ℱ. Per ogni f. ℱ su X, esiste un ultrafiltro U su X più fine di ℱ:

Convergenza. - Sia ora X uno spazio topologico, si dice che un f. ℱ sull'insieme X "converge verso un punto x0" (o che x0 è un "limite del f. ℱ") se ogni intorno di x0 appartiene a ℱ, cioè se il f. ℑx0, degl'intorni di x0, è contenuto in ℱ, ne segue che ℱ converge ad x0 se e solo se per ogni intorno V di x0, c'è un A ∈ ℱ che sia contenuto in V. Nei precedenti esempi c), sia ℑx0 che. S(x0) convergono verso x0, e S(x0) è un ultrafiltro. Risulta che un f. ℱ converge verso x0 se, e solo se, ogni ultrafiltro contenente ℱ converge verso x0. L'insieme di tutti i limiti di un f. ℱ è detto "insieme limite di ℱ".

Sia ora f un'applicazione fra due insiemi X e Y, ed ℱ un f. su X. Allora l'insieme di tutti gli f(A), con A ∈ ℱ, è una base di f. su Y; il f. generato su Y da questa base s'indica con f (ℱ). Per es., se S = (xn)n ∈ N è una successione infinita di elementi d'un insieme X, i sottoinsiemi di X, che contengono tutti i termini della successione eccetto un numero finito di essi, formano un f. ℰS su X (il "f. elementare associato a S"). Questo ℰS è il f. avente per base l'immagine del f. di Fréchet, (esempio b), mediante la funzione f: N → X, con f(n) = xn. Si noti che (xn)n ∈ N converge verso un punto x0 nel senso usuale, se e solo se ℰS converge verso x0 nel senso della teoria dei filtri. Si definiscono ancora punti e insiemi di chiusura (aderenza) d'un f. ℱ, e con questo apparato si costruisce una teoria della convergenza basata sul concetto di filtro.

Classi pre-ordinate; classi dirette. - Sia A una classe non vuota di elementi x, y, z, ... Se è definita una relazione ρ fra coppie di elementi di A, che sia riflessiva (cioè x ρ x per ogni x ∈ A) e transitiva (se è x ρ y e y ρ z, è anche x ρ z), si dice che A = 〈A, ρ> è una "classe pre-ordinata". Se inoltre, per ogni coppia di elementi x e y di A, esiste in A un elemento z tale che sia z ρ x e z ρ y, si dice che A è l" diretta a sinistra". Se X è una sottoclasse di A(X ⊂ A) e ρX è la relazione indotta da ρ in X, 〈X, ρX> è una classe pre-ordinata, e se 〈X, ρX> è diretta a sinistra, si dice che X è "diretta a sinistra" in A. Si dice inoltre che X è "saturata a destra" in A se, per ogni x ∈ X, appartengono ad X anche tutti gli elementi y di A tali che sia x ρ y.

Sia ora A = 〈A, ρ> una classe pre-ordinata. Una classe non vuota X ⊂ A è detta un "f. sinistro" in A, se X è diretta a sinistra e saturata a destra in A (Analoga la definizione di f. destro in A).

Bibl.: H. Cartan, Theorie des filtres; filtres et ultrafiltres, in: Academie des sciences, Comptes rendus, parte I, vol. 205 (1937), pp. 595-98 e pp. 777-79; E. Čech, Topological spaces, Londra 1966; W. J. Thron, Topological structures, New York 1966; W. W. Comfort, S. Negrepontis, The theory of ultrafilters, Berlino 1975.

Vedi anche
còppia Termine che si riferisce a due persone, due animali, due cose della medesima specie unite e considerate insieme, messe insieme. In particolare, fidanzati o di sposi, con riferimento antonomastico alla coppia di sposi e alla vita matrimoniale, ma anche in genere alla c. uomo-donna conviventi in unione ... unione Diritto Istituto del diritto civile che prevede, ove le cose restino separabili, ancorché unite, il diritto per ciascun proprietario a conservare il diritto di proprietà e la possibilità di chiedere la separazione. Quando più cose appartenenti a diversi proprietari sono state unite o mescolate in modo ... inclusione Botanica Sostanza o soluzione complessa racchiusa nei vacuoli delle cellule, detta anche incluso cellulare; può essere liquida, come le goccioline di oli, o solida, come la drusa . CHIMICA Composto di i. Tipo di composto chimico derivante dall’imprigionamento di molecole di una sostanza (molecole ospiti) ... compatto Matematica Uno spazio (o un insieme di punti) si dice c. per successioni, o brevemente c., se ogni successione formata da infiniti punti scelti in esso ammette un punto di accumulazione anch’esso appartenente allo spazio, o all’insieme. Così, per es., la circonferenza è un insieme c., mentre non lo ...
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Altri risultati per FILTRO
  • filtro
    Enciclopedia della Matematica (2017)
    filtro in algebra, particolare famiglia di sottoinsiemi costruita a partire da un dato insieme. Dato un insieme non vuoto S, un filtro su S è una collezione F di sottoinsiemi di S che non contiene l’insieme vuoto, è chiusa rispetto all’intersezione dei suoi elementi e contiene ogni sottoinsieme di S ...
Vocabolario
filtrare
filtrare v. tr. e intr. [der. di filtro1]. – 1. tr. a. Far passare un liquido o un gas attraverso un filtro capace di trattenere le particelle solide contenute in sospensione: f. l’acqua, l’olio; f. il tè attraverso il colino. Per estens.,...
filtrato
filtrato agg. e s. m. [part. pass. di filtrare]. – 1. agg. Di liquido, passato attraverso un filtro. 2. s. m. Sostanza filtrata, prodotto di una filtrazione. In partic.: a. In fisiologia, f. glomerulare, il prodotto della filtrazione del...
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