filtro

filtro

filtro in algebra, particolare famiglia di sottoinsiemi costruita a partire da un dato insieme. Dato un insieme non vuoto S, un filtro su S è una collezione F di sottoinsiemi di S che non contiene l’insieme vuoto, è chiusa rispetto all’intersezione dei suoi elementi e contiene ogni sottoinsieme di S contenente un elemento di F. Quindi, un filtro F su S è definito dalle tre seguenti proprietà formali:

• ∅ ∉ F

• A, B ∈ F ⇒ A ∩ B ∈ F

• A ∈ F, A ⊆ B ⊆ S ⇒ B ∈ F

Un esempio di filtro è costituito dall’insieme degli intorni di un fissato punto in uno spazio topologico. Il filtro degli intorni di +∞ in N (i cui elementi sono gli insiemi complementari in N dei sottoinsiemi finiti di N) è detto filtro di Fréchet. Si dice base di un filtro un sottoinsieme B ∈ F tale che ogni elemento di F contiene un elemento di B. Si dice ultrafiltro (o filtro massimale) un filtro F tale che, se A è un sottoinsieme di S, o A oppure il suo complementare in S appartiene a F.